概率論

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概率論研究那些受到隨機(jī)事件（random events）影響的現(xiàn)象，它們具有很大的不確定性。

基礎(chǔ)定義

討論概率時(shí)，最重要的就是不確定性的思想，我們需要引入一個(gè)足夠?qū)挿旱摹⒂糜谔幚聿淮_定性的概念。偶然性試驗(yàn)（chance experiment）或隨機(jī)試驗(yàn)（random experiment）是產(chǎn)生不確定結(jié)果的過程。例如，扔硬幣、測(cè)試機(jī)械使用壽命等都是隨機(jī)實(shí)驗(yàn)。

定義：偶然性試驗(yàn)的樣本空間（sample space）Ω 是實(shí)施試驗(yàn)所可能產(chǎn)生結(jié)果的集合。Ω 里的元素稱為該試驗(yàn)的樣本點(diǎn)（sample point）。Ω 的子集稱為事件（event）。

只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件（elementary event），包含多個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為復(fù)合事件（compound event）。

樣本空間的劃分

翻硬幣有 2 個(gè)樣本點(diǎn)，搖骰子有 6 個(gè)樣本點(diǎn)，像這種有限的樣本空間，稱為有限樣本空間（finite sample space）。

翻一枚硬幣，一直翻到背面為止。這樣的隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是：$\Omega=\{T, H T, H H T, H H H T, \ldots\}$。這種樣本空間是無限的，但是同時(shí)又是可以枚舉的，因此稱為可數(shù)無限樣本空間（countably infinite sample space）。?

檢測(cè)燈泡的使用壽命，這樣的隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是：$\Omega=\{t: t \geq 0\}=[0, \infty)$，這種樣本空間是不可數(shù)的集合，通常稱為連續(xù)樣本空間（continuous sample space）。處理這種樣本空間的技巧，與有限樣本空間和可數(shù)無限樣本空間的技巧，有很大的不同。通常又把有限樣本空間和可數(shù)無限樣本空間，統(tǒng)稱為離散樣本空間（discrete sample space）。

事件的運(yùn)算

通過定義樣本空間這樣的集合，以及定義事件作為樣本空間的子集。因此，集合論里面的運(yùn)算自然衍生到了事件的運(yùn)算。

首先定義事件的發(fā)生（occured）：對(duì)于事件 A∈Ω ，當(dāng)進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，我們觀察到的結(jié)果（output）ω∈Ω ，同時(shí)也滿足 ω∈A 的條件，那么就稱事件 A 發(fā)生了。

根據(jù)這樣的定義，那么對(duì)于兩個(gè)事件 A 和 B，滿足 A?B，那么如果 A 發(fā)生，必然有 B 發(fā)生。

如果 A?B 且 B?A，顯然根據(jù)集合論，A=B。此時(shí)，如果事件 A 發(fā)生，那么事件 B 發(fā)生；反之亦然。由此引入事件等價(jià)的定義。

定義：當(dāng)事件 A 發(fā)生，必然有事件 B 發(fā)生；反之亦然。那么稱 A 和 B 是等價(jià)的（equivalent），寫作 A=B。

集合論里面全集和空集的概念，對(duì)應(yīng)到事件中，就稱為必然事件（certain event）和不可能事件（impossible event）。

定義：事件 A 和 B 的并（union）定義為 A∪B，其含義是?A 或 B 發(fā)生。

定義：事件 A 和 B 的交（intersection）定義為 A∩B 或 AB，其含義是?A 且 B 發(fā)生。

多個(gè)事件的交和并，同樣用集合論的語言來表示：

$$\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} \text { and } \bigcap_{i=1}^{\infty} A_{i}=\prod_{i=1}^{\infty} A_{i}$$

定義：已知在樣本空間?Ω 上定義的事件 A 和 B，如果?A∪B=?，那么稱 A 和 B 互斥事件（disjoint or mutually exclusive events）。

對(duì)于多個(gè)事件 Ai，如果滿足：

$$A_{i} A_{j}=\emptyset \quad \text { for any } i \neq j(i, j=1,2, \ldots, n)$$

那么稱事件 Ai?兩兩互斥（pairwise disjoint）。

定義：令 A 是樣本空間上的事件。它的補(bǔ)集稱為對(duì)立事件（complementary event），當(dāng)且僅當(dāng) A 不發(fā)生時(shí)，A 的對(duì)立事件發(fā)生。A 的對(duì)立事件記作：$A^{\prime}$ or $\bar{A}$ or $A^{c}$。

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定義：事件 A 與 B 的差（difference）指這樣的事件，當(dāng)該事件發(fā)生時(shí)，A 發(fā)生，而 B 不發(fā)生，記作 A-B。

于是有這樣的關(guān)系：

$$A^{\prime}=\Omega-A \quad \text { and } \quad A-B=A B^{\prime}$$

所有都是套用集合論上面而來的，以下是事件運(yùn)算的性質(zhì)：

$A \cup A=A \quad A A=A$ $A \cup \emptyset=A \quad A \emptyset=\emptyset$ $A \cup \Omega=\Omega \quad A \Omega=A$ $A \cup B=B \cup A \quad A B=B A$ $A \cup(B \cup C)=(A \cup B) \cup C \quad A(B C)=(A B) C$ $A \cup(B C)=(A \cup B)(A \cup C) \quad A(B \cup C)=(A B) \cup(A C)$ $A \cup A^{\prime}=\Omega \quad A A^{\prime}=\emptyset$ $\left(A^{\prime}\right)^{\prime}=A$ If $A \subseteq B$ and $B \subseteq C$, then $A \subseteq C$ If $A \subseteq B$, then $B^{\prime} \subseteq A^{\prime}$ and vice versa If $A \subseteq B$, then $A B=A$ and $A \cup B=B$.

De Morgan 定律：

$$(A \cup B)^{\prime}=A^{\prime} B^{\prime}, \quad(A B)^{\prime}=A^{\prime} \cup B^{\prime}$$

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參考 Balakrishnan N, Koutras M V, Politis K G. Introduction to Probability: Models and Applications[M]. John Wiley & Sons, 2019.

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