高中數(shù)學(xué)：三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)歸類解析（高考必備）

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，也是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，而三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)更是高考考查的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題。下面就近幾年的高考題中考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)的有關(guān)問題進(jìn)行歸類解析，以幫助大家更好地學(xué)習(xí)及掌握這一知識(shí)。

考察三角函數(shù)最值

三角函數(shù)的最值其實(shí)就是指三角函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值和最小值，涉及到三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性和它們的圖象．在求三角函數(shù)最值中常用的手法是化簡和換元．化簡的原則通常是盡量的把復(fù)合三角函數(shù)化為只含有一個(gè)三角函數(shù)的一元函數(shù)．

【例題】

【解答】

【評(píng)析】考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,利用已知條件推出函數(shù)的最大值，然后列出關(guān)系式求解即可．

考察三角函數(shù)周期性

求周期的三種方法

①利用周期函數(shù)的定義．f（x+T）=f（x）；

②利用公式：y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）的最小正周期為2π/|ω|，y=tan（ωx+φ）的最小正周期為π/|ω|；

③利用圖象．圖象重復(fù)的x的長度．

【例題】

【解答】

【評(píng)析】用二倍角公式可得f（x）=-cos(4x)/2+1/2，然后用周期公式求出周期即可．

考察三角函數(shù)單調(diào)性

三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法

1．求含有絕對(duì)值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時(shí)，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定．

2．求形如y=Asin（ωx+φ）或y=Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“ωx+φ”為一個(gè)整體，通過解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò)．

【例題】

【解答】

【評(píng)析】根據(jù)正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的周期性及單調(diào)性依次判斷，利用排除法即可求解

考察三角函數(shù)圖像變化

函數(shù)y=sin x的圖象變換得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象的步驟

注意事項(xiàng)：

（1）要弄清楚是平移哪個(gè)函數(shù)的圖像，得到哪個(gè)函數(shù)的圖像；

（2）要注意平移前后兩個(gè)函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)；

（3）由y=Asin ωx的圖像得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）的圖象時(shí)，需平移的單位數(shù)應(yīng)為|φ|/ω，而不是|φ|．

【例題】

【解答】解：∵f（x）是奇函數(shù)，∴φ=0，

則f（x）=Asin（ωx）

將y=f（x）的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g（x）．

即g（x）=Asin（ωx/2）

∵g（x）的最小正周期為2π，

若g（π/4)=√2，則g（π/4)=Asin（π/4)=√2A/2=√2,，即A=2，

則f（x）=2sin2x，則f(3π/8)=2sin（2×3π/8)=2sin(3π/4)=2×(√2/2)=√2

故選：C．

【評(píng)析】題主要考查三角函數(shù)的解析式的求解，結(jié)合條件求出A，ω和φ的值，再結(jié)合函數(shù)變換關(guān)系求出g（x）的解析式，結(jié)合條件求出A的值，利用代入法進(jìn)行求解即可。

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