一文看懂向量的概念及其幾何意義

2024-06-23 18:27| 來源: 網(wǎng)絡(luò)整理| 查看: 265

向量是2D、3D數(shù)學(xué)研究的標(biāo)準(zhǔn)工具，在3D游戲中向量是基礎(chǔ)。因此掌握好向量的一些基本概念以及屬性和常用運算方法就顯得尤為重要。在本篇博客中，馬三就來和大家一起回顧和學(xué)習(xí)一下Unity3D中那些常用的3D數(shù)學(xué)知識。 ?

一、向量概念及基本定義

1、向量的數(shù)學(xué)定義

向量就是一個數(shù)字列表，對于程序員來說一個向量就是一個數(shù)組。向量的維度就是向量包含的“數(shù)”的數(shù)目，向量可以有任意正數(shù)維，標(biāo)量可以被認(rèn)為是一維向量。書寫向量時，用方括號將一列數(shù)括起來，如[1,2,3] 水平書寫的向量叫行向量?垂直書寫的向量叫做列向量

2、向量的幾何意義

幾何意義上說，向量是有大小和方向的有向線段。向量的大小就是向量的長度（模）向量有非負(fù)的長度。向量的方向描述了空間中向量的指向。向量的形式：向量定義的兩大要素——大小和方向，有時候需要引用向量的頭和尾，下圖所示，箭頭是向量的末端，箭尾是向量的開始 ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

向量中的數(shù)表達(dá)了向量在每個維度上的有向位移，例如2D向量列出的是沿x坐標(biāo)方向和y坐標(biāo)方向的位移。

3、向量與點

“點”有位置，但沒有實際的大小或厚度，“向量”有大小和方向，但沒有位置。所以使用“點”和“向量”的目的完全不同。”點”描述位置，“向量”描述位移。

4、點和向量的關(guān)系：

任意一點都能用從原點開始的向量來表達(dá)。

二、向量運算

1、零向量

零向量非常特殊，因為它是唯一大小為零的向量。對于其他任意數(shù)m,存在無數(shù)多個大小（模）為m的向量，他們構(gòu)成一個圓。零向量也是唯一一個沒有方向的向量。

2、負(fù)向量

負(fù)運算符也能應(yīng)用到向量上。每個向量v都有一個加性逆元-v，它的維數(shù)和v一樣，滿足v+(-v)=0。要得到任意維向量的負(fù)向量，只需要簡單地將向量的每個分量都變負(fù)即可。幾何解釋：向量變負(fù)，將得到一個和向量大小相等，方向相反的向量。

3、向量大小（長度或模）

在線性代數(shù)中，向量的大小用向量兩邊加雙豎線表示，向量的大小就是向量各分量平方和的平方根 ??? ??||v||=√(x^2+y^2)?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2D向量v） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????||v||=√(x^2+y^2+z^2)?? ? ? ? ? (3D向量v)幾何解釋：在2D中的任意向量v，能構(gòu)造一個以v為斜邊的直接三角形，由勾股定理可知，對于任意直角三角形，斜邊的長度平方等于兩直角邊長度的平方和。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??||v||^2 =?x^2 ? + ?y^2?

4、標(biāo)量與向量的乘法

雖然標(biāo)量與向量不能相加，但它們可以相乘。結(jié)果將得到一個向量。與原向量平行，但長度不同或者方向相反。標(biāo)量與向量的乘法非常直接，將向量的每個分量都與標(biāo)量相乘即可。如：k[x,y,z] = [xk,yk,zk]向量也能除以非零向量，效果等同于乘以標(biāo)量的倒數(shù)。如：[x,y,z]/k = [x/k,y/k,z/k] 標(biāo)量與向量相乘時，不需要些乘號，將兩個量挨著寫即表示相乘。標(biāo)量與向量的乘法和除法優(yōu)先級高于加法和乘法標(biāo)量不能除以向量，并且向量不能除以另一個向量。負(fù)向量能被認(rèn)為是乘法的特殊情況，乘以標(biāo)量-1。幾何解釋:向量乘以標(biāo)量k的效果是以因子|k|縮放向量的長度，例如：為了使向量的長度加倍，應(yīng)使向量乘以2.如果k0 ，則兩向量夾角小于 90°。

叉乘：兩個向量的叉乘得到一個新的向量 ,新向量垂直于原來的兩個向量再乘夾角的正弦值。

叉乘后得到的還是一個向量：

在Unity3D里面。兩個向量的點乘所得到的是兩個向量的余弦值，也就是-1 到1之間，0表示垂直，-1表示相反，1表示相同方向。兩個向量的叉乘所得到的是兩個向量所組成的面的垂直向量，分兩個方向。簡單的說，點乘判斷角度，叉乘判斷方向。形象的說當(dāng)一個敵人在你身后的時候，叉乘可以判斷你是往左轉(zhuǎn)還是往右轉(zhuǎn)更好的轉(zhuǎn)向敵人，點乘得到你當(dāng)前的面朝向的方向和你到敵人的方向的所成的角度大小。

作者：馬三小伙兒出處：【Unity3d游戲開發(fā)】Unity3D中的3D數(shù)學(xué)基礎(chǔ)---向量 - 馬三小伙兒 - 博客園? 請尊重別人的勞動成果，讓分享成為一種美德，歡迎轉(zhuǎn)載。另外，文章在表述和代碼方面如有不妥之處，歡迎批評指正。留下你的腳印，歡迎評論！

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