20.【線性代數(shù)】

在坐標(biāo)系中，由向量（a,b）和向量(c,d)組成平行四邊形的面積= 矩陣 [ a b c d ] \begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix} [ac?bd?]的行列式，即： 平行四邊形的面積 = ∣ a b c d ∣ = a d ? b c 平行四邊形的面積= \begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix} = ad-bc 平行四邊形的面積= ?ac?bd? ?=ad?bc

h

S表示面積 S 紅4 = c d S 綠5 = a b S 橙6 = a b S 黃7 = c d S_{\text{紅4}} = cd \newline S_{\text{綠5}} = ab \newline S_{\text{橙6}} = ab \newline S_{\text{黃7}} = cd S紅4?=cdS綠5?=abS橙6?=abS黃7?=cd 得出 S 綠5 = S 橙6 S 紅4 = S 黃7 S 藍(lán)8 + S 綠5 + S 紅4 = a d S_{\text{綠5}}=S_{\text{橙6}} \newline S_{\text{紅4}} = S_{\text{黃7}} \newline S_{\text{藍(lán)8}} + S_{\text{綠5}} + S_{\text{紅4}} = ad S綠5?=S橙6?S紅4?=S黃7?S藍(lán)8?+S綠5?+S紅4?=ad

圖中， S 紫 = S 紫1 + S 紫2 + S 紫3 = b c S_{\text{紫}} = S_{\text{紫1}} + S_{\text{紫2}} +S_{\text{紫3}} = bc S紫?=S紫1?+S紫2?+S紫3?=bc 現(xiàn)在看平行四邊形的面積，如下： S 平行四邊形 = S 藍(lán)8 + ( S 橙6 ? S 紫2 ) + ( S 黃7 ? S 紫1 ) ? S 紫3 S_{\text{平行四邊形}} = S_{\text{藍(lán)8}} + (S_{\text{橙6}} - S_{\text{紫2}}) + (S_{\text{黃7}} - S_{\text{紫1}}) - S_{\text{紫3}} S平行四邊形?=S藍(lán)8?+(S橙6??S紫2?)+(S黃7??S紫1?)?S紫3?

減去 S 紫3 S_{\text{紫3}} S紫3?，是因?yàn)? S 紫3 S_{\text{紫3}} S紫3?加了兩次

S 平行四邊形 = S 藍(lán)8 + ( S 橙6 ? S 紫2 ) + ( S 黃7 ? S 紫1 ) ? S 紫3 = S 藍(lán)8 + S 橙6 + S 黃7 ? S 紫1 ? S 紫2 ? S 紫3 = ( S 藍(lán)8 + S 綠5 + S 紅4 ) ? ( S 紫1 + S 紫2 + S 紫3 ) = a d ? b c \begin{aligned} S_{\text{平行四邊形}} & = S_{\text{藍(lán)8}} + (S_{\text{橙6}} - S_{\text{紫2}}) + (S_{\text{黃7}} - S_{\text{紫1}}) - S_{\text{紫3}} \newline & = S_{\text{藍(lán)8}} + S_{\text{橙6}} + S_{\text{黃7}} - S_{\text{紫1}} - S_{\text{紫2}}-S_{\text{紫3}} \newline & = (S_{\text{藍(lán)8}} + S_{\text{綠5}} + S_{\text{紅4}}) - (S_{\text{紫1}} +S_{\text{紫2}}+S_{\text{紫3}}) \newline & = ad-bc \end{aligned} S平行四邊形??=S藍(lán)8?+(S橙6??S紫2?)+(S黃7??S紫1?)?S紫3?=S藍(lán)8?+S橙6?+S黃7??S紫1??S紫2??S紫3?=(S藍(lán)8?+S綠5?+S紅4?)?(S紫1?+S紫2?+S紫3?)=ad?bc?