根軌跡和系統(tǒng)參數(shù)的確定

前面有講到通過(guò)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)分布情況來(lái)判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。當(dāng)然還有些更簡(jiǎn)單的判別方式，例如：勞斯穩(wěn)定性判據(jù)、赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)等。但都是判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定的，那么怎么判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定程度（穩(wěn)定裕度）呢？或者說(shuō)當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)參數(shù)在什么范圍內(nèi)系統(tǒng)穩(wěn)定，取多大時(shí)穩(wěn)定裕度最好。 舉個(gè)例子： 注意上面的閉環(huán)傳函為單位負(fù)反饋的。那么K的取值是什么范圍時(shí)該系統(tǒng)穩(wěn)定呢，當(dāng)然可以用勞斯判據(jù)求出。但K值取多少時(shí)最穩(wěn)定呢，這里就涉及到了根軌跡(系統(tǒng)特征根的軌跡)了。那么我們讓K的取值從0到正無(wú)窮時(shí)，求出閉環(huán)傳函的特征方程的各個(gè)根，這樣就形成了根軌跡了。但是這樣做要做大量的運(yùn)算，很復(fù)雜耗時(shí)。

因此有個(gè)工程師發(fā)明了一套技巧，不需要每一個(gè)具體的K反復(fù)求閉環(huán)特征根，只需通過(guò)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)Gk(s)的零極點(diǎn)就能得到當(dāng)開(kāi)環(huán)增益 K → ∞ K\rightarrow \infty K→∞ 時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根在復(fù)平面上的變化軌跡。 這就是常規(guī)根軌跡法。

根軌跡是開(kāi)環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變到無(wú)窮時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根在s平面上變化的軌跡

只需要利用開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)，就能繪制常規(guī)根軌跡。（根據(jù)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)，描繪閉環(huán)特征根（極點(diǎn)）的曲線）

看下上面的例子用常規(guī)根軌跡法，只需要依靠開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)： 就能得到K從0變化的無(wú)窮大時(shí)，根的軌跡大概的樣子（我們不介紹怎么具體畫(huà)根軌跡）：

下面用matlab繪制上面閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。

從上面可以看出系統(tǒng)的三個(gè)極點(diǎn)，本例題中沒(méi)有零點(diǎn)。而且只有在K 滿足一定條件的情況下系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。

在分析系統(tǒng)性能的時(shí)候，除了某一根軌跡點(diǎn)對(duì)應(yīng)的開(kāi)環(huán)增益外，有時(shí)還需要知道該增益所對(duì)應(yīng)的其他閉環(huán)極點(diǎn)的值，這時(shí)候則只需輸入以下命令即可：[K,p]=rlocfind(sys)；然后繪圖上出現(xiàn)十字光標(biāo)，只要點(diǎn)擊根軌跡上的一點(diǎn)，命令窗口就會(huì)顯示出，當(dāng)前增益K的值，和其他的極點(diǎn)。

程序如下：

1. 從根軌跡的分布直觀來(lái)說(shuō)可以看出當(dāng)K增加至多大時(shí)，系統(tǒng)會(huì)不穩(wěn)定。 2. 根軌跡離虛軸越遠(yuǎn)，那么系統(tǒng)就越不容易因?yàn)樽陨韰?shù)K的變化而失去穩(wěn)定，則系統(tǒng)的穩(wěn)定程度就越高。 3. 如果系統(tǒng)的穩(wěn)定程度不足的話，還可以在開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中增加零點(diǎn)，使得根軌跡左移，增加系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。這樣一來(lái)，對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的校正就變的非常直觀了。

注意：根軌跡是S域（復(fù)頻域）設(shè)計(jì)法，是依靠S來(lái)解決問(wèn)題的。

那么K取值多少時(shí)系統(tǒng)比較穩(wěn)定呢？

借助根軌跡這一工具， 我們可以看出隨著系統(tǒng)參數(shù)變化，系統(tǒng)極點(diǎn)的分布情況，繼而判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性及穩(wěn)定邊界。為獲得較好的動(dòng)穩(wěn)態(tài)性能，常常取阻尼 ξ \xi ξ=0.707 對(duì)應(yīng)的增益為最終的參數(shù)值。

首先利用matlab繪制出相應(yīng)的根軌跡圖：

結(jié)果如下圖： 從圖中可以出：

當(dāng)K>6.03時(shí)，系統(tǒng)存在右半平面極點(diǎn)，系統(tǒng)不再穩(wěn)定，因此，K應(yīng)小于6.03。 當(dāng)K=0.655時(shí)，系統(tǒng)阻尼約為0.705，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能較佳。

根據(jù)上述分析，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的最佳增益為0.655。利用step指令，可觀察不同K值下，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。

從圖中可以看出，K=0.655 確實(shí)在響應(yīng)時(shí)間、超調(diào)量及調(diào)節(jié)時(shí)間之間得到折中，證實(shí)了前述參數(shù)設(shè)計(jì)方法的正確性。