| 波動性GARCH模型與波動率預(yù)測（代碼+結(jié)果分析） | 您所在的位置：網(wǎng)站首頁 › 屬虎的人和屬兔的合不合 › 波動性GARCH模型與波動率預(yù)測（代碼+結(jié)果分析） |
波動性GARCH模型與波動率預(yù)測（代碼+結(jié)果分析）
|
專題四 波動性模型
前言
前面三節(jié)課介紹了時間序列的基本知識、4種常見的時間序列模型及季節(jié)模型，這些模型一般都假設(shè)干擾項的方差為常數(shù)，然而很多情況下時間序列的波動有集聚性等特征，使得方差并不為常數(shù)。因此，如何刻畫方差是十分有必要研究的。 本文介紹的ARCH、GARCH模型可以刻畫出隨時間變化的條件異方差。 4.1 自回歸條件異方差模型(ARCH) 4.1.1 波動率的特征對于金融時間序列，波動率往往具有以下特征： （1）存在波動率聚集現(xiàn)象。 即波動率在一段時間上高，一段時間上低。 （2）波動率以連續(xù)時間變化，很少發(fā)生跳躍 （3）波動率不會發(fā)散到無窮，波動率往往是平穩(wěn)的 （4）波動率對價格大幅上升和大幅下降的反應(yīng)是不同的，這個現(xiàn)象為杠桿效應(yīng) 條件波動性（Conditional Volatility） 是指在時間序列數(shù)據(jù)中，一個時刻的波動性（方差）依賴于該時刻之前的數(shù)據(jù)。換句話說，條件波動性表示了時間序列數(shù)據(jù)的波動性在不同時刻是不同的，且這種變化是基于之前的觀測值而來的。 ARCH（Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）和 GARCH（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）模型就是用來建模時間序列數(shù)據(jù)中的條件波動性的方法。這些模型認為時間序列數(shù)據(jù)的方差是隨著時間變化的，并且可以通過過去的觀測值來預(yù)測。 4.1.2 ARCH的基本原理在傳統(tǒng)計量經(jīng)濟學(xué)模型中，干擾項的方差被假設(shè)為常數(shù)。但是許多經(jīng)濟時間序列呈現(xiàn)出波動的集聚性，在這種情況下假設(shè)方差為常數(shù)是不恰當(dāng)?shù)摹?/p> ARCH模型將當(dāng)前一切可利用信息作為條件，并采用某種自回歸形式來刻劃方差的變異，對于一個時間序列而言，在不同時刻可利用的信息不同，而相應(yīng)的條件方差也不同，利用ARCH模型，可以刻劃出隨時間而變異的條件方差。 1. ARCH模型思想1.資產(chǎn)收益率序列的擾動{ a t a_t at?}是序列不相關(guān)的，但是不獨立。 2.{ a t a_t at?}的不獨立性可以用其延遲值的簡單二次函數(shù)來描述。 ARCH 模型是用于描述時間序列數(shù)據(jù)中異方差性（方差不恒定）的一種模型。“ARCH” 代表 “Autoregressive Conditional Heteroskedasticity”，它的基本思想是將過去的誤差項的平方作為當(dāng)前時間點的方差模型的輸入。 ARCH 模型的一般形式為： y t = μ t + ? t ? t = σ t z t σ t 2 = α 0 + α 1 ? t ? 1 2 + α 2 ? t ? 2 2 + … + α p ? t ? p 2 \begin{align*} y_t &= \mu_t + \epsilon_t \\ \epsilon_t &= \sigma_t z_t \\ \sigma_t^2 &= \alpha_0 + \alpha_1 \epsilon_{t-1}^2 + \alpha_2 \epsilon_{t-2}^2 + \ldots + \alpha_p \epsilon_{t-p}^2 \end{align*} yt??t?σt2??=μt?+?t?=σt?zt?=α0?+α1??t?12?+α2??t?22?+…+αp??t?p2?? 其中： y t y_t yt? 是時間序列的觀測值。 μ t \mu_t μt? 是平均值（可能是一個常數(shù)，也可能是一個模型）。 ? t \epsilon_t ?t? 是時間點 t t t 的誤差項，這里假設(shè)服從均值為零的獨立同分布的隨機變量。 σ t 2 \sigma_t^2 σt2? 是時間點 t t t 的方差，它是過去若干個誤差項的平方的加權(quán)和，權(quán)重由 α \alpha α 參數(shù)確定。 z t z_t zt? 是標準正態(tài)隨機變量。 α 0 , α 1 , … , α p \alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_p α0?,α1?,…,αp? 是 ARCH 模型的參數(shù)，控制著過去誤差項平方對當(dāng)前方差的影響。ARCH 模型的關(guān)鍵特點在于，它可以捕捉到時間序列中方差的非恒定性，即方差會隨著時間而變化。模型的參數(shù)可以通過最大似然估計等方法進行估計。 ARCH 模型的一種擴展是 GARCH（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）模型，它在 ARCH 模型的基礎(chǔ)上引入了過去方差的高階項，使得模型能夠更準確地描述異方差性。 # !pip install arch # 相關(guān)庫 from scipy import stats import statsmodels.api as sm # 統(tǒng)計相關(guān)的庫 import numpy as np import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt import arch # 條件異方差模型相關(guān)的庫 import seaborn as sns #seaborn畫出的圖更好看，且代碼更簡單 sns.set(color_codes=True) #seaborn設(shè)置背景 #導(dǎo)入數(shù)據(jù) data=pd.read_excel('股價數(shù)據(jù).xlsx') data.set_index('date', inplace=True) #設(shè)定日期為索引 r2=np.log(data['close'])-np.log(data['close'].shift(1)) #計算對數(shù)收益率 r2=r2.dropna() r2.head() date 2020-01-03 -0.051530 2020-01-06 -0.000586 2020-01-07 0.016870 2020-01-08 -0.006484 2020-01-09 0.014713 Name: close, dtype: float64 r=r2 r2=pd.DataFrame(r) r2.columns=(['return']) r2 returndate2020-01-03-0.0515302020-01-06-0.0005862020-01-070.0168702020-01-08-0.0064842020-01-090.014713......2022-12-26-0.0169372022-12-270.0075562022-12-280.0000002022-12-29-0.0082352022-12-300.004714727 rows × 1 columns r2.plot(figsize=(12,4))
? 4.1.2 ARCH模型建立ok，上面盡可能簡單的介紹了ARCH的原理，下面主要介紹如何python實現(xiàn)。ARCH模型建立大致分為以下幾步： 步驟（1）：通過檢驗數(shù)據(jù)的序列相關(guān)性建立一個均值方程，如有必要，對收益率序列建立一個計量經(jīng)濟模型（如ARMA）來消除任何線形依賴。 步驟（2）：對均值方程的殘差進行ARCH效應(yīng)檢驗 步驟（3）：如果具有ARCH效應(yīng)，則建立波動率模型 步驟（4）：檢驗擬合的模型，如有必要則進行改進 arch庫其實提供了現(xiàn)成的方法（后面會介紹），但是為了理解ARCH，我們按流程來建模 1. 均值方程(AR)的建立這里的均值方程可以簡單認為建立ARMA(或ARIMA)模型，ARCH其實是在此基礎(chǔ)上的一些“修正”。 我們以上證指數(shù)日漲跌幅序列為例： 由于后面的arch庫均值方程只支持常數(shù)、零均值、AR模型，我們這里建立AR模型，方便對照~ （1）首先檢驗平穩(wěn)性，是否需要差分。 原假設(shè) H 0 H_0 H0?：序列為非平穩(wěn)的，備擇假設(shè) H 1 H_1 H1?:序列是平穩(wěn)的 t = sm.tsa.stattools.adfuller(r2) # ADF檢驗 print("p-value: ",t[1]) p-value: 0.0P值小于0.05 拒絕原假設(shè)，所以序列是平穩(wěn)的 （2）定階 from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_pacf as PACF #偏自相關(guān)圖 fig = PACF(r2,lags = 30) #使用對數(shù)收益率序列 plt.show()
（3）建模AR§ from scipy import stats import statsmodels.api as sm # 統(tǒng)計相關(guān)的庫 from statsmodels.tsa.ar_model import AutoReg temp = np.array(r2) # 載入收益率序列 model =AutoReg(temp,lags=[1,6,25,26]) res = model.fit() out = 'AIC: {0:0.3f}, HQIC: {1:0.3f}, BIC: {2:0.3f}' print(out.format(res.aic, res.hqic, res.bic)) print(res.summary()) plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['simhei'] #字體為黑體 plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False #正常顯示負號 plt.figure(figsize=(10,4)) plt.plot(temp,'b',label='對數(shù)收益率') plt.plot(res.fittedvalues, 'r',label='AR model') plt.legend() AIC: -3400.990, HQIC: -3390.432, BIC: -3373.675 AutoReg Model Results ============================================================================== Dep. Variable: y No. Observations: 727 Model: Restr. AutoReg(26) Log Likelihood 1706.495 Method: Conditional MLE S.D. of innovations 0.021 Date: Sat, 12 Aug 2023 AIC -3400.990 Time: 10:57:10 BIC -3373.675 Sample: 26 HQIC -3390.432 727 ============================================================================== coef std err z P>|z| [0.025 0.975] ------------------------------------------------------------------------------ const 0.0008 0.001 1.054 0.292 -0.001 0.002 y.L1 0.0029 0.037 0.078 0.938 -0.070 0.076 y.L6 -0.0426 0.037 -1.142 0.253 -0.116 0.031 y.L25 0.0546 0.037 1.465 0.143 -0.018 0.128 y.L26 -0.1368 0.037 -3.680 0.000 -0.210 -0.064 Roots ============================================================================== Real Imaginary Modulus Frequency ------------------------------------------------------------------------------ AR.1 -1.0603 -0.1318j 1.0685 -0.4803 AR.2 -1.0603 +0.1318j 1.0685 0.4803 AR.3 -0.9941 -0.3837j 1.0656 -0.4414 AR.4 -0.9941 +0.3837j 1.0656 0.4414 AR.5 -0.8740 -0.6099j 1.0657 -0.4030 AR.6 -0.8740 +0.6099j 1.0657 0.4030 AR.7 -0.7048 -0.8059j 1.0706 -0.3644 AR.8 -0.7048 +0.8059j 1.0706 0.3644 AR.9 -0.4882 -0.9566j 1.0740 -0.3251 AR.10 -0.4882 +0.9566j 1.0740 0.3251 AR.11 -0.2412 -1.0461j 1.0735 -0.2861 AR.12 -0.2412 +1.0461j 1.0735 0.2861 AR.13 0.0147 -1.0741j 1.0742 -0.2478 AR.14 0.0147 +1.0741j 1.0742 0.2478 AR.15 0.2711 -1.0459j 1.0805 -0.2096 AR.16 0.2711 +1.0459j 1.0805 0.2096 AR.17 0.5188 -0.9556j 1.0873 -0.1708 AR.18 0.5188 +0.9556j 1.0873 0.1708 AR.19 0.7355 -0.8040j 1.0896 -0.1321 AR.20 0.7355 +0.8040j 1.0896 0.1321 AR.21 0.9045 -0.6082j 1.0900 -0.0942 AR.22 0.9045 +0.6082j 1.0900 0.0942 AR.23 1.0925 -0.1318j 1.1004 -0.0191 AR.24 1.0925 +0.1318j 1.1004 0.0191 AR.25 1.0253 -0.3830j 1.0945 -0.0569 AR.26 1.0253 +0.3830j 1.0945 0.0569 ------------------------------------------------------------------------------
從上面模型的結(jié)構(gòu)看，大的過去的平方“擾動”會導(dǎo)致信息 a t a_t at?大的條件異方差。從而 a t a_t at?有取絕對值較大的值的傾向。這意味著：在ARCH的框架下，大的"擾動"會傾向于緊接著出現(xiàn)另一個大的"擾動"。這與波動率聚集的現(xiàn)象相似。 所謂ARCH模型效應(yīng)，也就是條件異方差序列的序列相關(guān)性 我們使用混成檢驗（Ljung-Box),檢驗序列 { a t 2 a_t^2 at2?} 的相關(guān)性，來判斷是否具有ARCH效應(yīng) 計算均值方程殘差： a t = r t ? μ t \large a_t = r_t - \mu_t at?=rt??μt? （1）畫出殘差及殘差的平方 at = r2.values[26:] - res.fittedvalues at2 = np.square(at) plt.figure(figsize=(10,6)) plt.subplot(211) plt.plot(at,label = 'at') plt.legend() plt.subplot(212) plt.plot(at2,label='at^2') plt.legend(loc=0)
（2）對{ a t 2 a_t^2 at2?}序列進行混成檢驗： 原假設(shè) H 0 H_0 H0?:序列沒有相關(guān)性，備擇假設(shè) H 1 H_1 H1?:序列具有相關(guān)性 m = 25 # 我們檢驗25個自相關(guān)系數(shù) acf,q,p = sm.tsa.acf(at2,nlags=m,qstat=True) ## 計算自相關(guān)系數(shù) 及p-value out = np.c_[range(1,26), acf[1:], q, p] output=pd.DataFrame(out, columns=['lag', "AC", "Q", "P-value"]) output = output.set_index('lag') output ACQP-valuelag1.00.0358440.9044843.415822e-012.00.0885916.4376924.000120e-023.00.14744421.7863757.225955e-054.00.05364523.8210628.674936e-055.00.04667125.3633421.185340e-046.00.15916343.3261431.005310e-077.00.10951051.8419226.272714e-098.00.05552554.0343106.798537e-099.00.01872454.2839901.667087e-0810.00.18026677.4592261.577224e-1211.00.04100078.6598242.678490e-1212.00.00639778.6890907.335388e-1213.00.04487780.1316361.042143e-1114.0-0.00126680.1327852.673556e-1115.00.01655380.3296176.079293e-1116.00.03662481.2945869.715658e-1117.00.03149482.0091911.682693e-1018.0-0.04478683.4564252.114351e-1019.0-0.03430984.3069893.328231e-1020.0-0.00250784.3115397.193319e-1021.00.04383485.7040428.798365e-1022.0-0.02396186.1207231.553194e-0923.00.00280686.1264473.146857e-0924.0-0.02465086.5687525.289709e-0925.0-0.05383188.6812304.690585e-09 p-value小于顯著性水平0.05，我們拒絕原假設(shè)，即認為序列具有相關(guān)性。因此具有ARCH效應(yīng)。 3. ARCH波動率模型的建立首先講講ARCH模型的階次，可以用{ a t 2 a_t^2 at2?}序列的偏自相關(guān)函數(shù)PACF來確定： fig = plt.figure(figsize=(20,5)) fig = PACF(at2,lags = 30)
因此我們可以定為10階。然后建立關(guān)于殘差平方的AR(10)模型 σ t 2 = α 0 + α 1 a t ? 1 2 + ? + α 10 a t ? m 2 η = a t 2 ? σ t 2 a t 2 = α 0 + α 1 a t ? 1 2 + ? + α 10 a t ? m 2 + η t \large \sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 a_{t-1}^2 + \cdots + \alpha_{10} a_{t-m}^2 \\ \large \eta =a_t^2 - \sigma_t^2 \\ \large a_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 a_{t-1}^2 + \cdots + \alpha_{10} a_{t-m}^2 + \eta_t σt2?=α0?+α1?at?12?+?+α10?at?m2?η=at2??σt2?at2?=α0?+α1?at?12?+?+α10?at?m2?+ηt? AR模型就不建立了，和上面一樣的步驟建立的模型就是波動率的模型，根據(jù)模型結(jié)果即可得到波動率參數(shù)。但是事實上arch庫可以一步到位。 總結(jié)上述的步驟是：先建立關(guān)于收益率序列的均值方程，然后根據(jù)均值方程的殘差建立波動率ARCH模型（建立之前進行arch效應(yīng)的檢驗）。 根據(jù)我們之前的分析，可以選擇均值模型為AR(26)模型，波動率模型選擇ARCH(10)模型 am = arch.arch_model(r2.values,mean='AR',lags=26,vol='ARCH',p=10) res = am.fit() res.summary() Iteration: 1, Func. Count: 40, Neg. LLF: 40965152.75702708 Iteration: 2, Func. Count: 86, Neg. LLF: 8698.970310546452 Iteration: 3, Func. Count: 128, Neg. LLF: 2902.1288794018164 Iteration: 4, Func. Count: 170, Neg. LLF: 1309895.9030277207 Iteration: 5, Func. Count: 211, Neg. LLF: -1347.791200776411 Iteration: 6, Func. Count: 252, Neg. LLF: 243898.86093785244 Iteration: 7, Func. Count: 296, Neg. LLF: 15465.836561672153 Iteration: 8, Func. Count: 340, Neg. LLF: 736661.3830451616 Iteration: 9, Func. Count: 384, Neg. LLF: -1745.0926489160058 Optimization terminated successfully (Exit mode 0) Current function value: -1745.09264841222 Iterations: 13 Function evaluations: 384 Gradient evaluations: 9 AR - ARCH Model Results Dep. Variable:y R-squared: 0.043Mean Model:AR Adj. R-squared: 0.006Vol Model:ARCH Log-Likelihood: 1745.09Distribution:Normal AIC: -3414.19Method:Maximum Likelihood BIC: -3241.19 No. Observations: 701Date:Sat, Aug 12 2023 Df Residuals: 674Time:13:24:05 Df Model: 27 Mean Model coefstd errtP>|t|95.0% Conf. Int.Const1.0522e-032.473e-03 0.425 0.670[-3.795e-03,5.899e-03]y[1] 0.02299.396e-02 0.243 0.808[ -0.161, 0.207]y[2] -0.01894.219e-02 -0.449 0.654[ -0.102,6.377e-02]y[3] -0.01725.463e-02 -0.315 0.753[ -0.124,8.988e-02]y[4] -0.0110 0.112-9.851e-02 0.922[ -0.230, 0.208]y[5] 0.01087.599e-02 0.142 0.887[ -0.138, 0.160]y[6] -0.05884.549e-02 -1.293 0.196[ -0.148,3.034e-02]y[7] 0.04894.886e-02 1.001 0.317[-4.687e-02, 0.145]y[8]6.7808e-03 0.1096.227e-02 0.950[ -0.207, 0.220]y[9] -0.0200 0.125 -0.160 0.873[ -0.266, 0.226]y[10] 0.03415.917e-02 0.576 0.565[-8.189e-02, 0.150]y[11] -0.02725.563e-02 -0.489 0.625[ -0.136,8.185e-02]y[12] 0.05693.627e-02 1.568 0.117[-1.422e-02, 0.128]y[13] -0.03603.322e-02 -1.083 0.279[ -0.101,2.913e-02]y[14] 0.01675.274e-02 0.316 0.752[-8.671e-02, 0.120]y[15] -0.0638 0.194 -0.328 0.743[ -0.445, 0.317]y[16] 0.04964.578e-02 1.084 0.279[-4.012e-02, 0.139]y[17]8.2176e-035.988e-02 0.137 0.891[ -0.109, 0.126]y[18] -0.02494.447e-02 -0.559 0.576[ -0.112,6.229e-02]y[19] 0.02075.476e-02 0.378 0.706[-8.665e-02, 0.128]y[20] 0.01734.791e-02 0.361 0.718[-7.659e-02, 0.111]y[21]-8.7310e-035.982e-02 -0.146 0.884[ -0.126, 0.109]y[22]5.7469e-038.029e-027.158e-02 0.943[ -0.152, 0.163]y[23] 0.03013.645e-02 0.826 0.409[-4.133e-02, 0.102]y[24] -0.04534.574e-02 -0.991 0.322[ -0.135,4.430e-02]y[25] 0.05456.544e-02 0.833 0.405[-7.377e-02, 0.183]y[26] -0.12766.602e-02 -1.9335.328e-02[ -0.257,1.802e-03] Volatility Model coefstd errtP>|t|95.0% Conf. Int.omega1.9493e-041.482e-04 1.316 0.188[-9.549e-05,4.853e-04]alpha[1] 0.0580 0.217 0.267 0.790[ -0.368, 0.484]alpha[2] 0.0580 0.263 0.221 0.825[ -0.457, 0.573]alpha[3] 0.05806.268e-02 0.926 0.355[-6.483e-02, 0.181]alpha[4] 0.0580 0.113 0.513 0.608[ -0.164, 0.280]alpha[5] 0.0580 0.164 0.353 0.724[ -0.264, 0.380]alpha[6] 0.0580 0.296 0.196 0.845[ -0.523, 0.639]alpha[7] 0.0580 0.147 0.395 0.693[ -0.230, 0.346]alpha[8] 0.0580 0.299 0.194 0.846[ -0.529, 0.645]alpha[9] 0.0580 0.9705.979e-02 0.952[ -1.844, 1.960]alpha[10] 0.09119.790e-02 0.931 0.352[ -0.101, 0.283] Covariance estimator: robust ```python res.params ``` Const 0.001052 y[1] 0.022875 y[2] -0.018924 y[3] -0.017207 y[4] -0.010993 y[5] 0.010797 y[6] -0.058818 y[7] 0.048907 y[8] 0.006781 y[9] -0.020025 y[10] 0.034083 y[11] -0.027176 y[12] 0.056871 y[13] -0.035974 y[14] 0.016653 y[15] -0.063768 y[16] 0.049611 y[17] 0.008218 y[18] -0.024858 y[19] 0.020678 y[20] 0.017313 y[21] -0.008731 y[22] 0.005747 y[23] 0.030099 y[24] -0.045339 y[25] 0.054481 y[26] -0.127592 omega 0.000195 alpha[1] 0.058013 alpha[2] 0.058013 alpha[3] 0.058013 alpha[4] 0.058013 alpha[5] 0.058013 alpha[6] 0.058013 alpha[7] 0.058013 alpha[8] 0.058013 alpha[9] 0.058013 alpha[10] 0.091128 Name: params, dtype: float64模型的R-squared較小，擬合效果一般。 # 刺猬圖用于展示模型對數(shù)據(jù)的擬合情況以及殘差（方差殘差）的分布。 res.hedgehog_plot()
從擬合結(jié)果來看，大致上的波動情況擬合效果還是比較好的 4.2 GARCH模型與波動率預(yù)測雖然ARCH模型簡單，但為了充分刻畫收益率的波動率過程，往往需要很多參數(shù)，例如上面用到ARCH(10)模型，有時會有更高的ARCH(m)模型。因此，Bollerslev(1986)年提出了一個推廣形式，稱為廣義的ARCH模型（GARCH） GARCH（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）模型是一種用于建模金融時間序列數(shù)據(jù)中異方差性的統(tǒng)計模型。它是 ARCH（Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）模型的擴展，通過引入過去的方差（方差殘差）的高階項來更準確地描述時間序列數(shù)據(jù)中的方差結(jié)構(gòu)。 GARCH 模型的一般形式如下： y t = μ t + ? t ? t = σ t z t σ t 2 = ω + ∑ i = 1 p α i ? t ? i 2 + ∑ j = 1 q β j σ t ? j 2 \begin{align*} y_t &= \mu_t + \epsilon_t \\ \epsilon_t &= \sigma_t z_t \\ \sigma_t^2 &= \omega + \sum_{i=1}^p \alpha_i \epsilon_{t-i}^2 + \sum_{j=1}^q \beta_j \sigma_{t-j}^2 \end{align*} yt??t?σt2??=μt?+?t?=σt?zt?=ω+i=1∑p?αi??t?i2?+j=1∑q?βj?σt?j2?? 其中： y t y_t yt? 是時間序列的觀測值。 μ t \mu_t μt? 是平均值（可能是一個常數(shù)，也可能是一個模型）。 ? t \epsilon_t ?t? 是時間點 t t t 的標準化殘差，通常假設(shè)為服從均值為零、方差為一的獨立同分布的隨機變量。 σ t 2 \sigma_t^2 σt2? 是時間點 t t t 的方差，它是過去若干個標準化殘差平方的加權(quán)和，權(quán)重由 α \alpha α 和 β \beta β 參數(shù)確定。 z t z_t zt? 是標準正態(tài)隨機變量。 ω \omega ω、 α 1 , … , α p \alpha_1, \ldots, \alpha_p α1?,…,αp?、 β 1 , … , β q \beta_1, \ldots, \beta_q β1?,…,βq? 是 GARCH 模型的參數(shù)， ω \omega ω 表示常數(shù)項， α \alpha α 控制過去殘差項的影響， β \beta β 控制過去方差項的影響。GARCH 模型通過建模時間序列數(shù)據(jù)的方差結(jié)構(gòu)，能夠捕捉金融時間序列數(shù)據(jù)中的波動性和異方差性。通常，模型的參數(shù)可以通過最大似然估計等方法進行估計。 在 Python 中，可以使用一些統(tǒng)計庫（如 statsmodels）或?qū)ｉT的金融時間序列庫（如 arch）來擬合 GARCH 模型并進行時間序列分析。具體實現(xiàn)可能會因庫的不同而有所變化。 a=int(len(r2)*0.05) train = r2[:-a] test = r2[-a:] train.head() returndate2020-01-03-0.0515302020-01-06-0.0005862020-01-070.0168702020-01-08-0.0064842020-01-090.014713 ## 4.2.1 GARCH模型定階與之前的ARCH模型建立過程類似，不過GARCH(m,s)的定階較難，一般使用低階模型如GARCH(1,1),GARCH(2,1),GARCH(1,2)等。 對于 GARCH(m,s) 模型，m表示 ARCH 部分的階數(shù)，s 表示 GARCH 部分的階數(shù)。一般使用ACF和PACF難以判斷 因此我們使用信息準則來判斷階數(shù)。 import pandas as pd import numpy as np from arch import arch_model # 定義可能的 GARCH(p,q) 階數(shù)范圍 p_range = range(0, 10) # 替換為合適的范圍 q_range = range(0, 10) # 替換為合適的范圍 best_aic = np.inf best_order = None best_results = None for p in p_range: for q in q_range: try: # 擬合 GARCH(p,q) 模型 model = arch_model(r2, vol='Garch', p=p, q=q) results = model.fit() # 計算 AIC 和 BIC aic = results.aic bic = results.bic # 判斷是否是當(dāng)前最優(yōu)模型 if aic |t|95.0% Conf. Int.Const9.4586e-048.598e-04 1.100 0.271[-7.392e-04,2.631e-03]y[1] 0.02573.921e-02 0.655 0.513[-5.118e-02, 0.103]y[2] -0.01123.911e-02 -0.286 0.775[-8.783e-02,6.548e-02]y[3] -0.03194.244e-02 -0.751 0.453[ -0.115,5.133e-02]y[4] -0.01624.561e-02 -0.356 0.722[ -0.106,7.316e-02]y[5]-8.7703e-033.993e-02 -0.220 0.826[-8.703e-02,6.949e-02]y[6] -0.05354.372e-02 -1.225 0.221[ -0.139,3.215e-02]y[7] 0.04314.307e-02 1.001 0.317[-4.132e-02, 0.128]y[8]-8.9600e-043.808e-02-2.353e-02 0.981[-7.553e-02,7.374e-02]y[9] -0.01763.955e-02 -0.446 0.655[-9.516e-02,5.987e-02]y[10] 0.02764.843e-02 0.569 0.569[-6.737e-02, 0.122]y[11] -0.03413.899e-02 -0.874 0.382[ -0.111,4.234e-02]y[12] 0.04743.623e-02 1.309 0.190[-2.358e-02, 0.118]y[13] -0.02673.607e-02 -0.739 0.460[-9.734e-02,4.404e-02]y[14] 0.02703.661e-02 0.737 0.461[-4.477e-02,9.873e-02]y[15] -0.05824.071e-02 -1.430 0.153[ -0.138,2.159e-02]y[16] 0.03264.404e-02 0.740 0.459[-5.372e-02, 0.119]y[17]-7.4221e-043.784e-02-1.962e-02 0.984[-7.490e-02,7.342e-02]y[18] -0.02993.411e-02 -0.875 0.381[-9.670e-02,3.700e-02]y[19] 0.03433.947e-02 0.869 0.385[-4.305e-02, 0.112]y[20] -0.02013.920e-02 -0.514 0.607[-9.697e-02,5.668e-02]y[21] -0.02384.241e-02 -0.562 0.574[ -0.107,5.927e-02]y[22]9.5758e-034.121e-02 0.232 0.816[-7.119e-02,9.034e-02]y[23] 0.02693.733e-02 0.720 0.471[-4.627e-02, 0.100]y[24] -0.03913.708e-02 -1.053 0.292[ -0.112,3.362e-02]y[25] 0.05083.337e-02 1.522 0.128[-1.461e-02, 0.116]y[26] -0.12033.557e-02 -3.3817.218e-04[ -0.190,-5.056e-02] Volatility Model coefstd errtP>|t|95.0% Conf. Int.omega5.3436e-051.748e-05 3.0572.239e-03[1.917e-05,8.770e-05]alpha[1] 0.0498 0.114 0.435 0.663[ -0.175, 0.274]alpha[2] 0.0498 0.108 0.462 0.644[ -0.161, 0.261]alpha[3] 0.05186.577e-02 0.788 0.431[-7.711e-02, 0.181]alpha[4] 0.0498 0.162 0.308 0.758[ -0.268, 0.367]beta[1] 0.2325 1.574 0.148 0.883[ -2.853, 3.318]beta[2] 0.2325 1.538 0.151 0.880[ -2.781, 3.246]beta[3] 0.2325 0.213 1.094 0.274[ -0.184, 0.649] Covariance estimator: robust ```python res.params ``` Const 0.000946 y[1] 0.025662 y[2] -0.011171 y[3] -0.031857 y[4] -0.016236 y[5] -0.008770 y[6] -0.053549 y[7] 0.043091 y[8] -0.000896 y[9] -0.017646 y[10] 0.027556 y[11] -0.034085 y[12] 0.047423 y[13] -0.026651 y[14] 0.026982 y[15] -0.058197 y[16] 0.032606 y[17] -0.000742 y[18] -0.029851 y[19] 0.034320 y[20] -0.020146 y[21] -0.023840 y[22] 0.009576 y[23] 0.026884 y[24] -0.039052 y[25] 0.050793 y[26] -0.120278 omega 0.000053 alpha[1] 0.049823 alpha[2] 0.049823 alpha[3] 0.051804 alpha[4] 0.049823 beta[1] 0.232454 beta[2] 0.232454 beta[3] 0.232454 Name: params, dtype: float64我們得到波動率模型： σ t 2 = 0.000053 + 0.049823 a t ? 1 2 + 0.049823 a t ? 2 2 + 0.051804 a t ? 3 2 + 0.049823 a t ? 4 2 + 0.232454 σ t ? 1 2 + 0.232454 σ t ? 2 2 + 0.232454 σ t ? 3 2 \large \sigma_t^2 = 0.000053 +0.049823a_{t-1}^2 + 0.049823 a_{t-2}^2 + 0.051804a_{t-3}^2 + 0.049823 a_{t-4}^2 + 0.232454\sigma_{t-1}^2 + 0.232454\sigma_{t-2}^2 +0.232454\sigma_{t-3}^2 σt2?=0.000053+0.049823at?12?+0.049823at?22?+0.051804at?32?+0.049823at?42?+0.232454σt?12?+0.232454σt?22?+0.232454σt?32? res.plot() plt.plot(r2.values)
觀察上圖，第一張圖為標準化殘差，近似平穩(wěn)序列，說明模型在一定程度上是正確的； 第二張圖，橙色為原始收益率序列、藍色為條件異方差序列，可以發(fā)現(xiàn)條件異方差很好得表現(xiàn)出了波動率。 res.hedgehog_plot()
觀察擬合圖發(fā)現(xiàn)，在方差的還原上還是不錯的。 4.2.3 波動率預(yù)測此前建立的模型中直接預(yù)測了收益率，然而直接預(yù)測收益率準確度并不是很高，因此很多時候我們主要用來預(yù)測波動率，根據(jù)上面建立的波動率模型： σ t 2 = 0.000053 + 0.049823 a t ? 1 2 + 0.049823 a t ? 2 2 + 0.051804 a t ? 3 2 + 0.049823 a t ? 4 2 + 0.232454 σ t ? 1 2 + 0.232454 σ t ? 2 2 + 0.232454 σ t ? 3 2 \large \sigma_t^2 = 0.000053 +0.049823a_{t-1}^2 + 0.049823 a_{t-2}^2 + 0.051804a_{t-3}^2 + 0.049823 a_{t-4}^2 + 0.232454\sigma_{t-1}^2 + 0.232454\sigma_{t-2}^2 +0.232454\sigma_{t-3}^2 σt2?=0.000053+0.049823at?12?+0.049823at?22?+0.051804at?32?+0.049823at?42?+0.232454σt?12?+0.232454σt?22?+0.232454σt?32? 我們可以按照我們建立好的模型一步步計算。 len(test) 36 ini = res.resid[-25:] a = np.array(res.params[1:26]) w = a[::-1] # 系數(shù) for i in range(36): new =float(test.values[i]) - (res.params[0] + w.dot(ini[-25:])) ini = np.append(ini,new) print(len(ini)) at_pre = ini[-36:] at_pre2 = at_pre**2 at_pre2 61 array([1.01232203e-03, 5.03864617e-05, 1.10233346e-03, 7.45366735e-06, 2.06208245e-04, 1.53182463e-06, 8.45075716e-04, 7.87922789e-05, 9.38252028e-05, 6.13691187e-04, 1.09033703e-05, 7.73925075e-05, 3.14698031e-03, 1.94830844e-05, 2.77432172e-04, 1.35996184e-06, 6.79155523e-04, 9.95206154e-05, 5.21642002e-06, 4.91895152e-06, 6.36277969e-04, 1.47598426e-05, 4.07490261e-05, 2.50428353e-04, 4.76165619e-06, 4.34576525e-06, 9.68050383e-05, 1.15417106e-03, 1.67343335e-04, 3.18757007e-04, 7.45178307e-06, 2.55272742e-04, 5.73669611e-05, 9.97774368e-06, 2.65501364e-05, 6.28396273e-06])接著根據(jù)波動率模型預(yù)測波動率: σ t 2 = 0.000053 + 0.049823 a t ? 1 2 + 0.049823 a t ? 2 2 + 0.051804 a t ? 3 2 + 0.049823 a t ? 4 2 + 0.232454 σ t ? 1 2 + 0.232454 σ t ? 2 2 + 0.232454 σ t ? 3 2 \large \sigma_t^2 = 0.000053 +0.049823a_{t-1}^2 + 0.049823 a_{t-2}^2 + 0.051804a_{t-3}^2 + 0.049823 a_{t-4}^2 + 0.232454\sigma_{t-1}^2 + 0.232454\sigma_{t-2}^2 +0.232454\sigma_{t-3}^2 σt2?=0.000053+0.049823at?12?+0.049823at?22?+0.051804at?32?+0.049823at?42?+0.232454σt?12?+0.232454σt?22?+0.232454σt?32? res.conditional_volatility[-4:] array([0.03698157, 0.03344135, 0.03366974, 0.03276049]) res.params Const 0.000946 y[1] 0.025662 y[2] -0.011171 y[3] -0.031857 y[4] -0.016236 y[5] -0.008770 y[6] -0.053549 y[7] 0.043091 y[8] -0.000896 y[9] -0.017646 y[10] 0.027556 y[11] -0.034085 y[12] 0.047423 y[13] -0.026651 y[14] 0.026982 y[15] -0.058197 y[16] 0.032606 y[17] -0.000742 y[18] -0.029851 y[19] 0.034320 y[20] -0.020146 y[21] -0.023840 y[22] 0.009576 y[23] 0.026884 y[24] -0.039052 y[25] 0.050793 y[26] -0.120278 omega 0.000053 alpha[1] 0.049823 alpha[2] 0.049823 alpha[3] 0.051804 alpha[4] 0.049823 beta[1] 0.232454 beta[2] 0.232454 beta[3] 0.232454 Name: params, dtype: float64 ini2 = res.conditional_volatility[-3:] #上3個條件異方差值 i=5 for i in range(36): new = res.params[-8] + res.params[-7]*at_pre2[i-4]+ res.params[-6]*at_pre2[i-3]+res.params[-5]*at_pre2[i-2]+res.params[-4]*at_pre2[i-1]+ res.params[-3]*ini2[-3]+res.params[-2]*ini2[-2]+res.params[-1]*ini2[-1] ini2 = np.append(ini2,new) vol_pre = ini2[-36:] vol_pre array([0.02327402, 0.02095812, 0.01800726, 0.01462951, 0.01262221, 0.01064216, 0.00892807, 0.00758952, 0.00642488, 0.00543744, 0.00465656, 0.00393425, 0.00335403, 0.00302198, 0.00261849, 0.00231972, 0.00207602, 0.00173262, 0.00153203, 0.00133422, 0.00116177, 0.00102694, 0.00090656, 0.00080768, 0.00073766, 0.00063937, 0.00057625, 0.00052524, 0.00052108, 0.00050378, 0.00050064, 0.00049077, 0.00043832, 0.00041812, 0.00038316, 0.000359 ])我們將原始數(shù)據(jù)、條件異方差擬合數(shù)據(jù)及預(yù)測數(shù)據(jù)一起畫出來，分析波動率預(yù)測情況 plt.figure(figsize=(15,5)) plt.plot(r2.values,label='origin_data') plt.plot(res.conditional_volatility,label='conditional_volatility') x=range(691,727) plt.plot(x,vol_pre,'.r',label='predict_volatility') plt.legend(loc=0)
本篇是時間序列基礎(chǔ)課程的最后一篇，重點還是在基礎(chǔ)的概念和python實現(xiàn)上。事實上要真學(xué)好這些模型，少不了更多的參考和實驗。 另外，還有很多擴展的或改進的模型如求和GARCH、GARCH-M模型、指數(shù)GARCH、EGARCH模型等等。 對于波動率模型，還有比較常用的有隨機波動率模型等， 有興趣可以去研究下。 參考文獻1.《金融時間序列分析》 第2版 Ruey S.Tsay著 王輝、潘家柱 譯 2.Time Series analysis tsa http://nipy.bic.berkeley.edu/nightly/statsmodels/doc/html/tsa.html 3.Python arch 3.2 [https://pypi.python.org/pypi/arch](https://pypi.python.org/pypi/arch) 4.Python statsmodels [https://www.statsmodels.org/stable/index.html] 5.優(yōu)礦作者fyiqi的分享[https://uqer.datayes.com/community/user/56d7ce6b228e5b57c243d4b4/shares] 關(guān)注gzh“finance 褪黑素”獲取案例代碼等更多學(xué)習(xí)資料。 |
【本文地址】
| 今日新聞 |
| 推薦新聞 |
| 專題文章 |