從宇宙星辰到微觀世界，說(shuō)說(shuō)無(wú)所不在的“熵”

“熵理論，對(duì)于整個(gè)科學(xué)來(lái)說(shuō)是第一法則。”

——愛(ài)因斯坦

“宇宙的熵在升高，有序度在降低......可是低熵體不一樣，低熵體的熵還在降低。有序度還在上升，像漆黑海面上升起的磷火，這就是意義，最高層的意義.......要維持這種意義，低熵體就必須存在和延續(xù)。”

這是科幻小說(shuō)《三體》中，關(guān)于超高級(jí)文明生物“歌者”的一段描述。“歌者”將人類以及三體文明等其他文明稱為“低熵體”，生命若要維持，就要想方設(shè)法將自己的熵降低，走向有序。

這個(gè)設(shè)定的確有根有據(jù)，薛定諤振聾發(fā)聵的論述——“生命以負(fù)熵為生，人活著的意義，就是不斷對(duì)抗熵增的過(guò)程”，便說(shuō)明了這個(gè)道理。

圖 薛定諤 圖源| 維基百科

而諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者彭羅斯曾在名為《The Road to Reality》的書中提出這樣的觀點(diǎn)：“太陽(yáng)給地球提供‘低的熵’，人類生活以及大自然消耗低熵能量后再回饋給太陽(yáng)‘高的熵’。” 既然熵總是趨于最大值，那么人類的生老病死就是一個(gè)自然規(guī)律，是走向熵增的道路。

“熵”，已然橫跨多個(gè)領(lǐng)域，成為科普作品、文藝作品甚至是心靈雞湯的高頻詞。在科學(xué)研究中，起源于物理學(xué)的“熵”在許多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。今天，我們主要從微觀層次聊聊熵理論和物理學(xué)的那些事兒。

什么是熵？

1865年，德國(guó)物理學(xué)家克勞修斯首次提出熵的概念，用來(lái)表示任何一種能量在空間中分布的均勻程度，能量分布得越均勻，熵就越大。我們可以理解為，熵是表示物質(zhì)系統(tǒng)狀態(tài)的一種度量：熵越大，系統(tǒng)越無(wú)序；熵越小，系統(tǒng)越有序。

隨后，熵被用來(lái)進(jìn)行熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上的解釋。1948年，貝爾實(shí)驗(yàn)室的香農(nóng)提出了“信息熵”，解決了對(duì)信息的量化度量問(wèn)題。香農(nóng)認(rèn)為，信息是人們對(duì)事物了解的不確定性的消除或減少，他把通訊過(guò)程中信源訊號(hào)的平均信息量稱為信息熵（現(xiàn)在也被稱為香農(nóng)熵）。

圖 克勞德·香農(nóng)（Claude Elwood Shannon）圖源| bbvaopenmind

拿撲克牌來(lái)說(shuō)，一副撲克牌有五十四張牌，就具有五十四張牌的信息，抽牌過(guò)程就是獲取信息的過(guò)程。最開(kāi)始，我們對(duì)下一張牌的信息一無(wú)所知，信息為零，信息熵最大。隨著不斷抽牌，信息熵逐漸減小。最后只剩一張牌的時(shí)候，看看手里的五十三張牌，就可以確定最后一張牌的信息了，此時(shí)信息熵為零。這就是信息熵在傳遞信息過(guò)程中的變化形式。

圖 撲克牌的抽取過(guò)程就是獲取信息的過(guò)程 圖源| pixabay

現(xiàn)在，信息熵的研究得到了不斷發(fā)展，由香農(nóng)信息熵演化出來(lái)了多種信息熵分析方法，比如：聯(lián)合熵、條件熵、相對(duì)熵、交叉熵和互信息熵等。

最大熵原理

香農(nóng)提出的信息熵的概念能很好地量化度量信息，卻忽略了一個(gè)問(wèn)題：從理論上講，對(duì)于給定的隨機(jī)變量，如何獲取最為合適的一個(gè)分布呢? 美國(guó)物理學(xué)家杰恩斯提出的最大熵原理回答了這個(gè)問(wèn)題。

圖 杰恩斯 (Edwin Thompson Jaynes) 圖源| http://bayes.wustl.edu

1957年，杰恩斯根據(jù)最大熵原理推導(dǎo)出的概率分布重新表述了統(tǒng)計(jì)力學(xué)。這種理論的重新表述簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)，允許理論的基本擴(kuò)展，并將統(tǒng)計(jì)力學(xué)重新解釋為基于不完整信息的推理。

熵作為一個(gè)非常重要的物理量，已廣泛應(yīng)用于熱力學(xué)、信息論、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等許多領(lǐng)域。下面，我們將介紹熵在核物理學(xué)中的一些應(yīng)用。

信息熵和核物理學(xué)

我們可以將核子和原子核視為通過(guò)強(qiáng)相互作用緊密結(jié)合起來(lái)的多體復(fù)雜系統(tǒng)。利用香農(nóng)信息熵和最大熵原理，科學(xué)家們也可以探索在費(fèi)米尺度下多體系統(tǒng)中的特殊的結(jié)構(gòu)和行為。我們以時(shí)間為序舉幾個(gè)例子，介紹熵在核物理研究中的一些應(yīng)用。

圖 核物理學(xué)是研究在極小的費(fèi)米尺度下的組成部分以及他們之間的相互作用的重要物理學(xué)領(lǐng)域。圖源| Jefferson Lab

1995至1996年間，曹臻和華家照教授利用信息熵研究了分支過(guò)程中粒子的產(chǎn)生。他們研究了量子電動(dòng)力學(xué)和量子色動(dòng)力學(xué)過(guò)程的信息熵。這里，和信息熵密切相關(guān)的一個(gè)物理量是Koba-Nielsen-Olesen (KNO)標(biāo)度律，它在理解強(qiáng)子行為方面發(fā)揮了重要作用。

信息熵理論還可以為理解重離子碰撞過(guò)程中的物理現(xiàn)象提供新的方法和觀測(cè)資料。1999年，馬余剛院士首次提出在重離子碰撞及其碎片產(chǎn)生中可以觀察到齊普夫定律（該定律最早是語(yǔ)言學(xué)等領(lǐng)域的經(jīng)驗(yàn)觀察，即詞的出現(xiàn)頻率與其等級(jí)成反比）。這一想法不久在歐洲核子中心的實(shí)驗(yàn)和在美國(guó)的實(shí)驗(yàn)中得到了應(yīng)用和驗(yàn)證。基于信息熵的混沌性分析反映了碰撞系統(tǒng)的有序性，可以作為核物質(zhì)演化的指標(biāo)，為重離子物理學(xué)開(kāi)辟了新的思路。

圖喬治·金斯利·齊普夫（George Kingsley Zipf）圖源| http://gf.org

2015年，中科院近代物理所研究團(tuán)隊(duì)把最大熵原理應(yīng)用到強(qiáng)子結(jié)構(gòu)研究中，把熵和強(qiáng)子內(nèi)部的夸克動(dòng)量分布聯(lián)系起來(lái)，獲得了質(zhì)子、π和K介子內(nèi)部?jī)r(jià)夸克在低能標(biāo)下的動(dòng)量分布。最大熵方法作為一種新的方法，可以比較簡(jiǎn)潔地給出結(jié)果，并且和實(shí)驗(yàn)測(cè)量符合得很好。

質(zhì)子世界中的糾纏熵

上面，我們討論的是經(jīng)典的信息熵概念，而在量子層面，科學(xué)家們用“糾纏熵”來(lái)描述對(duì)事件的“無(wú)知”程度。

熱力學(xué)熵描述的是“粗粒化”帶來(lái)的“無(wú)知”，也就是只假設(shè)知道一些宏觀的熱力學(xué)量，而對(duì)微觀狀態(tài)一無(wú)所知。在量子層面，信息就不能用經(jīng)典的熱力學(xué)熵了，很顯然，信息載體變成了一個(gè)又一個(gè)的概率，變得十分抽象。將經(jīng)典的信息熵推廣到量子層面，是馮·諾依曼的經(jīng)典工作之一，被稱為糾纏熵（也被稱為馮·諾伊曼熵）。

圖馮·諾依曼(John von Neumann) 圖源| 維基百科

那么，和“糾纏”到底有啥關(guān)系呢？愛(ài)因斯坦起初將量子力學(xué)中的超距作用稱作“幽靈”，他不相信有超光速的作用存在。舉個(gè)例子：

假如你把一副手套左右各一只分別放進(jìn)兩個(gè)箱子里，跋山涉水將其中一個(gè)放到海王星上，另一個(gè)就放家里。你讓你的好朋友去海王星打開(kāi)那個(gè)箱子，他打開(kāi)的一瞬間就知道你家里那只是左手的還是右手的。這個(gè)信息量是一瞬間的傳遞，多遠(yuǎn)都可以。這明顯超光速了啊！

愛(ài)因斯坦聯(lián)合他的兩個(gè)小伙伴波多爾斯基和羅森寫了文章堅(jiān)決抵制這個(gè)“幽靈”，后世稱作“愛(ài)因斯坦-波多爾斯基-羅森佯謬”。不過(guò)，此后很多實(shí)驗(yàn)都驗(yàn)證了超距作用的存在（2022年頒發(fā)的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)與此相關(guān)）。這種超距作用的實(shí)質(zhì)是量子糾纏，可由量子糾纏熵來(lái)描述。

01

黑洞輻射過(guò)程與佩奇曲線

糾纏熵被應(yīng)用來(lái)研究黑洞輻射過(guò)程。黑洞一般被認(rèn)為是連光都能吸收的天體，任何東西都不能從黑洞逃逸出來(lái)。1973年，霍金預(yù)言黑洞會(huì)產(chǎn)生黑體輻射，稱為“霍金輻射”。霍金輻射說(shuō)明黑洞會(huì)釋放出信息（熱輻射），這一行為導(dǎo)致信息不守恒了，此即“黑洞信息佯謬”。

1993 年，霍金的學(xué)生佩奇（當(dāng)然不是小豬喬治的姐姐）計(jì)算了黑洞的糾纏熵，曲線像一個(gè)倒V字，這就是著名的“佩奇曲線”。佩奇曲線成功地描述了黑洞輻射過(guò)程的糾纏熵變化。

圖佩奇曲線。當(dāng)黑洞釋放輻射時(shí)，黑洞和輻射在量子力學(xué)上是有聯(lián)系的，聯(lián)系的總量叫糾纏熵。根據(jù)霍金的計(jì)算，熵會(huì)一直增長(zhǎng)到黑洞死亡。但是如果信息從黑洞中逃逸，糾纏熵就應(yīng)遵循佩奇曲線。圖源| Samuel Velasco/Quanta Magazine

02

質(zhì)子內(nèi)部的糾纏熵

佩奇曲線是直接從量子系統(tǒng)出發(fā)的，因此原則上可以應(yīng)用到任意量子系統(tǒng)中。近年來(lái)，科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，糾纏熵也能應(yīng)用于微觀世界的質(zhì)子結(jié)構(gòu)研究，這提供了一個(gè)嶄新的研究思路。

質(zhì)子作為一個(gè)純態(tài)量子系統(tǒng)，人們?cè)毡檎J(rèn)為其是零糾纏的。但實(shí)際上，深層次的質(zhì)子結(jié)構(gòu)是復(fù)雜的，除了三種價(jià)夸克之外，還有一堆從真空漲落出來(lái)的膠子夸克海，這些統(tǒng)稱為“部分子”。電子-質(zhì)子深度非彈性散射實(shí)驗(yàn)可以用以研究質(zhì)子的深層次內(nèi)部結(jié)構(gòu)。大量的實(shí)驗(yàn)表明，是量子糾纏將質(zhì)子內(nèi)部這些粒子彼此聯(lián)系起來(lái)。

圖質(zhì)子包含稱為夸克和膠子的較小粒子。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，量子糾纏將這些粒子彼此聯(lián)系起來(lái)。圖源| http://sciencenews.org

質(zhì)子在深度非彈性散射實(shí)驗(yàn)中恰好可以根據(jù)光子探測(cè)區(qū)域與未知區(qū)域分成兩個(gè)子系統(tǒng)。2022年，中科院近代物理所研究團(tuán)隊(duì)提出：應(yīng)該用著名的“佩奇糾纏公式”來(lái)計(jì)算兩個(gè)子系統(tǒng)之間的糾纏熵。

質(zhì)子內(nèi)部應(yīng)該是最大的量子糾纏：一個(gè)進(jìn)入質(zhì)子內(nèi)部的光子看到的那部分，必須以這種最大的方式與看不見(jiàn)的那部分糾纏在一起。因此，我們可以推斷出：電子-質(zhì)子深度非彈性散射過(guò)程的末態(tài)強(qiáng)子多重?cái)?shù)分布應(yīng)該對(duì)應(yīng)最大糾纏熵。這個(gè)推斷已經(jīng)被實(shí)驗(yàn)證實(shí)了。

從而，黑洞和高能核物理兩個(gè)研究領(lǐng)域通過(guò)熵的概念建立了新的聯(lián)系，為理論進(jìn)步和實(shí)驗(yàn)研究提供了新的途徑。

理解宇宙奧秘的橋梁

熵原本是分子熱力學(xué)的一個(gè)概念，現(xiàn)在被廣泛應(yīng)用于物理、化學(xué)、生物、信息科學(xué)等自然科學(xué)以及工程技術(shù)的許多領(lǐng)域。如今，人們對(duì)熵理論的認(rèn)識(shí)仍然在不斷深入，已經(jīng)深入到物質(zhì)最微觀的層次和黑洞，甚至深入到時(shí)空的研究了。

熵與最微觀層次之間的聯(lián)系表明，不同學(xué)科的多個(gè)系統(tǒng)中的模式和結(jié)構(gòu)可能具有共同的原則，熵是對(duì)大自然的一種基本描述。這種擴(kuò)展的理解可以幫助指導(dǎo)研究人員加深對(duì)原子核結(jié)構(gòu)和它們的相互作用以及它們?cè)诟鼜V泛的科學(xué)背景中的作用的理解。

熵的研究，處于當(dāng)今眾多學(xué)科研究工作的前沿，必將進(jìn)一步促進(jìn)我們對(duì)自然界的進(jìn)一步理解，是人類理解宇宙奧秘的一座橋梁！

致謝：感謝馬春旺教授閱讀本文并提出寶貴建議。

作者|寇維 陳旭榮

編輯| 劉芳

封面圖來(lái)源| James LaPlante/Sputnik Animation

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