圖像處理

卷積定理

函數(shù)空間域的卷積的傅里葉變換是函數(shù)傅里葉變換的乘積。對應(yīng)地，頻率域的卷積與空間域的乘積存在對應(yīng)關(guān)系。即：

? ??

? ??

由卷積定理可知所有頻域的濾波理論上都可以轉(zhuǎn)化為空域的卷積作。

給定頻率域濾波器，可對其進行傅里葉逆變換得到對應(yīng)的空域濾波器；濾波在頻域更為直觀，但空域適合使用更

小的濾波模板以提高濾波速度。因為相同尺寸下，頻域濾波器效率高于空域濾波器，故空域濾波需要一個更小尺寸的模板近似得到需要的濾波結(jié)果。

空域卷積

將模板在圖像中逐像素移動，將卷積核的每個元素分別和圖像矩陣對應(yīng)位置元素相乘并將結(jié)果累加，累加和作為模板中心對應(yīng)像素點的卷積結(jié)果。通俗的講，卷積就是對整幅圖像進行加權(quán)平均的過程，每一個像素點的值，都由其本身和鄰域內(nèi)的其他像素值經(jīng)過加權(quán)平均后得到。在像素的處理上，是先將結(jié)果暫存在于一個副本，最后統(tǒng)一拷貝，故不會出現(xiàn)處理順序不同而結(jié)果不同的情況。

二維連續(xù)卷積的數(shù)學(xué)定義：

?離散形式：

?頻域濾波：

頻率域是由傅里葉變換和頻率變量 (u,v)定義的空間，頻域濾波處理過程：先對圖像進行傅里葉變換，轉(zhuǎn)換至頻率域，在頻域使用濾波函數(shù)進行濾波，最后將結(jié)果反變換至空間域。即：

?高斯函數(shù)：

?形狀：

高斯函數(shù)的特殊性：高斯函數(shù)傅里葉變換仍是高斯函數(shù)，但標準差已經(jīng)變化，頻域標準差越大（高斯函數(shù)越寬），變換后空域標準差越小（高斯函數(shù)越窄）。

如頻域函數(shù)對應(yīng)的空域函數(shù)為

空域高斯平滑濾波：

高斯模板的生成

因為圖像是離散存儲的，故我們需要一個高斯函數(shù)的離散近似。具體地，對高斯函數(shù)進行離散化，以離散點上的高斯函數(shù)值作為權(quán)值，組成一定尺寸的模板，用此模板對圖像進行卷積。由于高斯分布在任意點處都非零，故理論上需要一個無窮大的模板，但根據(jù)"準則"，即數(shù)據(jù)分布在的概率是0.9974，距離函數(shù)中心超過數(shù)據(jù)所占權(quán)重可以忽略,因此只需要計算的矩陣就可以保證對高斯函數(shù)的近似了。

假設(shè)二維模板大小,則模板上元素 處的值為：

前面的系數(shù)在實際應(yīng)用中常被忽略，因為是離散取樣，不能使取樣和為1，最后還要做歸一化作。程序：

測試：

執(zhí)行mygaussian(4,1)得：

0.0181???0.0492??? 0.0492??? 0.0181

0.0492???0.1336??? 0.1336??? 0.0492

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執(zhí)行fspecial('gaussian',4,1)得：

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可以看出與Matlab結(jié)果相同。查看fspecial的Matlab源碼，將gaussian部分提取出來：