排列組合中的重複組合。－我是黃紹東，歡迎蒞臨我的網(wǎng)誌！想聊就聊吧～｜痞客邦

?

　　這篇是有關(guān)排列組合中重複組合（Ｈ）轉(zhuǎn)變成想排列（Ｐ）或組合（Ｃ）的思考方式。 　　雖然有趣且實(shí)用，不過也很容易遺忘（也許是我目前了解的只有在解題目時(shí)實(shí)用吧XD）。 　　在網(wǎng)路上找到另篇同樣對此著墨不少的文章，其行文較為乾淨(jìng)俐落。 　　http://www.stat.nuk.edu.tw/prost/content_new/c2-6.htm

　　此篇適合學(xué)過重複組合（Ｈ）卻不了解它背後根據(jù)的人閱讀。

　　問題是這樣的。 　　「滿足x + y + z = 8 ，且x , y , z 都是非負(fù)整數(shù)的( x , y , z )有幾組解？」 　　我強(qiáng)烈建議高中生對數(shù)學(xué)仍懷抱一點(diǎn)興趣的朋友，不要理會Ｈ＊取幾的公式，要麻頂多考試前記一下，免得定義不知道，出在選擇題時(shí)沒辦法判斷答案。 　　如果我沒搞錯(cuò)Ｈ的定義的話，那麼當(dāng)這道題目出現(xiàn)在習(xí)題時(shí)，解答會使用Ｈ３取８來解。

　　我待會講的雖然不用Ｈ，但其實(shí)就是課本講Ｈ定義時(shí)所用的觀念。

　　想像一下，有８個(gè)圈圈（因?yàn)榧悠饋淼褥叮福?　　ＯＯＯＯＯＯＯＯ 　　而這題有兩個(gè)＋號，接著把８個(gè)圈圈和２個(gè)＋號做排列，＋號作為區(qū)隔，最左邊的圈圈量就是x的值，中間的是y值，右邊的是z值。 　　舉例來說－－

　　ＯＯＯ＋ＯＯ＋ＯＯＯ，就是一組x = 3 , y = 2 , z = 3 ，x + y + z = 8 的解。 　　＋ＯＯ＋ＯＯＯＯＯＯ，就是一組x = 0 , y = 2 , z = 6 ，x + y + z = 8 的解。

　　ＯＯＯＯ＋＋ＯＯＯＯ，就是一組x = 4 , y = 0 , z = 4，x + y + z = 8 的解。

　　這是彼此完全一一對應(yīng)的（數(shù)學(xué)語言上叫做one to one），意思是我找得出一組( x , y , z )，就能排出一種８個(gè)Ｏ和２個(gè)＋所排列出的一種排法。 　　而如果我用８個(gè)Ｏ和２個(gè)＋排出一種排列方式，那也對應(yīng)到一組 ( x , y , z )。

　　於是原本求 x + y + z = 8 的問題，就轉(zhuǎn)變成問：「８個(gè)Ｏ和２個(gè)＋做排列，有幾種排列方式？」 　　那這可以直接想成（同義於）：「在１０個(gè)空格（因?yàn)橐獢[８個(gè)圈圈跟２個(gè)＋號，要有１０個(gè)空格）中，選２個(gè)空格放＋號，其餘皆放Ｏ，有幾種放法？」 　　共有Ｃ１０取２種，意思是有４５種排列方式，意思就是滿足條件的 ( x , y , z ) 有４５組解。

?

　　上面的這個(gè)做法可稱做「數(shù)學(xué)建模」（可說是我說的「翻譯」的其中一個(gè)分支），如果善長建模，那就有能力可以解決許多較為偏向現(xiàn)實(shí)的問題。（而非只在純理論裡打轉(zhuǎn)）

　　但，如果這題提出了一個(gè)有趣的觀念，卻只能應(yīng)付這種形式，未免也太累贅了（不如直接背公式XD？）。 　　所以不只是這樣。

　　下一題（通常這些題目我會選擇會放在一起講）。 　　「滿足 x + y + z = 8 ，且x , y , z 都是『正整數(shù)』（條件改了）的 ( x , y , z ) 有幾組解？」 　　這題如果是習(xí)題解答，它通常會這麼寫：「令x’ = x – 1 , y’ = y – 1 , z’ = z – 1（就是先丟給x , y , z 各一個(gè)1，讓剩下來的數(shù)字分配轉(zhuǎn)為「非負(fù)整數(shù)」的分配方式），則該式可改寫成x’ + y’ + z’ = 5，這是Ｈ３取５，得解。」

　　要想成那樣亦是可以，８個(gè)圈圈，先把３個(gè)圈圈給拿掉（已經(jīng)預(yù)留給x , y , z 各1個(gè)了），剩下５個(gè)圈圈，和２個(gè)＋號，再做排列即可。 　　稍作補(bǔ)充此時(shí)的兩種表達(dá)方法，第一種是（５＋２）！／５！２！，這種寫法的意思是：「７個(gè)東西排成一列，其中５個(gè)是一樣的，另外２個(gè)是一樣的（因?yàn)橐粯拥臇|西調(diào)換順序不會產(chǎn)生新的排列方式），所以除以５！和２！」（這裡的「！」是階乘的意思）

　　第二種表示方法是Ｃ７取２。 　　（你或許發(fā)現(xiàn)Ｃ７取２寫出來就跟上面的第一種長得一模一樣，但是我說，它們是依據(jù)表面上不同的理由寫出來的） 　　５個(gè)圈圈和２個(gè)＋號，會排出７個(gè)位置，而這２個(gè)＋號擺在７個(gè)位置中的哪兩個(gè)位置呢？ 　　（因?yàn)檫x定了２個(gè)＋號的位置後，其他就都放圈圈了。） 　　這就是從７個(gè)位置裡選２個(gè)位置放＋號，有Ｃ７取２種放法。

?

　　而，也可以不用用上面那樣的想法。（也是滿漂亮的啦！） 　　這裡再提供另個(gè)觀點(diǎn)。

　　依然是８個(gè)圈圈，ＯＯＯＯＯＯＯＯ，一樣２個(gè)＋號，可是這次用＋號來分區(qū)塊時(shí)，不能使得任一區(qū)塊裡面的圈圈數(shù)量是零個(gè)（因?yàn)槎家钦麛?shù)），意思就是說，２個(gè)＋號中間必然要有圈圈作為區(qū)隔（要不然 y 就等於0了），以及這２個(gè)＋號不能放在最左或最右側(cè)（要不然 x 或 z 就等於0了）。 　　那其實(shí)就相當(dāng)於問：「從８個(gè)圈圈的７個(gè)縫隙中，挑兩個(gè)縫隙放入＋號，有幾種放法？」 　　（因?yàn)檫@樣的放法恰好不會放到兩側(cè)，也不會使得兩個(gè)＋號中間沒有圈圈，而且與原本的問題是完全對應(yīng)的。） 　　那答案就是Ｃ７取２種。

?

　　從剛才第一題的想法轉(zhuǎn)到第二題的第一個(gè)想法，還算容易，轉(zhuǎn)到第二個(gè)想法，就沒那麼直覺了。第二個(gè)想法雖然也是直觀的看，但是延伸的方式較難思考。 　　舉例來說，如果今天題目要求：「x , y , z 皆大於等於２」，那麼第二個(gè)想法要如何能夠想像＋號與＋號之間有２個(gè)圈圈做為區(qū)隔的情形呢？（當(dāng)然也是可以，只是不容易想） 　　此時(shí)若仍沿用第一種想法，先把要給x , y , z 各２個(gè)（共６個(gè)）的圈圈預(yù)留起來，剩下來的再做排列，會容易許多。

?

　　這系列問題還沒結(jié)束。（只要有人有意願，可以一直發(fā)展下去XD？）

　　下一題（希望你會注意到，解決的想法都是從另個(gè)觀點(diǎn)看題目，藉此將它變成我們已知如何解的問題）。

　　「滿足 x + y + z ≦ 8，且 x , y , z 皆為非負(fù)整數(shù)的 ( x , y , z ) 有幾組解？」 　　通常人到了這裡，想像力就已窮盡了。（這句話沒什麼根據(jù)） 　　就連解答本都有可能會這麼寫：「把 = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 的情況都列出來，再全部相加即得解。」 　　事實(shí)上要是我沒有想起其他算法的話，是很有可能真的那樣算的。 　　較為快速的想法是，這次我一樣有８個(gè)圈圈，２個(gè)加號。 　　如果我將這１０個(gè)東西排列的話，只會切割出３個(gè)區(qū)塊，而且是滿足 x + y + z = 8 的情形。 　　但如果我再加上１個(gè)加號呢？ 　　８個(gè)圈圈和３個(gè)加號，可以切出４個(gè)區(qū)間，第一個(gè)區(qū)間有 x 個(gè)圈圈，第二個(gè)區(qū)間有 y 個(gè)，第三個(gè)區(qū)間有 z 個(gè)，現(xiàn)在 x + y + z 的值就變成小於等於 8 了（因?yàn)橛疫呥€有個(gè)區(qū)間有圈圈）。 　　那第四個(gè)區(qū)間（最右邊的）是什麼呢？那就是剩下來沒用到的圈圈。 　　如果第四個(gè)圈圈裡裝了８個(gè)，那就是 x + y + z + 8 = 8 的情形（化簡成 x + y + z = 0 ），如果裝了７個(gè)，那就是 x + y + z + 7 = 8 的情形（化簡成 x + y + z = 1 的情形）…… 　　這就意味著，我建立第四個(gè)區(qū)間 u ，求「滿足 x + y + z + u = 8 」的解情形，它有幾組解就表示「x + y + z ≦ 8」有幾組解。

?

　　其他數(shù)學(xué)相關(guān)的文章（因?yàn)檫@篇文章點(diǎn)閱率太高，所以新增同類文章連結(jié)）： 　　100年學(xué)測數(shù)學(xué)單選題觀念詳解

　　很強(qiáng)的條件－－有限。（數(shù)學(xué)）

　　２０１１清大數(shù)學(xué)ＹＡ數(shù)人生「數(shù)論紛紛」講義。

　　求解是什麼意思？（數(shù)學(xué)）

　　淺顯易懂的，你願意接受嗎?

?

　　－－－－－２０２４／１２／１８更新－－－－－

　　你對思考如何用文字教學(xué)感興趣嗎？想嘗試這樣的工作嗎？

　　我有寫一篇文章介紹我在做的「寫教數(shù)學(xué)臺詞」的工作，連結(jié)點(diǎn)此。