【量化金融】收益率、對數(shù)收益率、年華收益、波動率、夏普比率、索提諾比率、阿爾法和貝塔、最大回撤

在學(xué)術(shù)界，建模一般不直接使用資產(chǎn)價格，而是使用資產(chǎn)收益率(Returns)。因為收益率比價格具有更好的統(tǒng)計特性，更便于建模。下經(jīng)典的收益率算法如下： 假設(shè) P t P_t Pt?表示在時刻t時一種資產(chǎn)的價格，在沒有利息的情況下，從時刻t-1到時刻t這一持有階段的收益率為： R t = P t ? P t ? 1 P t ? 1 R_t = \frac{P_t-P_{t-1}}{P_{t-1}} Rt?=Pt?1?Pt??Pt?1?? 其中，分子 P t ? P t ? 1 P_t-P_{t-1} Pt??Pt?1?表示資產(chǎn)在持有期內(nèi)的收人或利潤，如果該值為負，則表示虧損。分母 P t ? 1 P_{t-1} Pt?1?，表示持有資產(chǎn)初期的原始投資。

對數(shù)收益率(Log returas)，用 r t r_t rt?表示。定義如下： r t = l n ( 1 + R t ) = l n ( P t P t ? 1 ) r_t =ln(1+R_t) = ln(\frac{P_t}{P_{t-1}}) rt?=ln(1+Rt?)=ln(Pt?1?Pt??) 其中l(wèi)nx() 表示自然對數(shù)，即以e為底的對數(shù)。對數(shù)收益率比簡單的收益率更為常見，因為對數(shù)收益率具有三個良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，具體如下。 （1）當(dāng)x比較小的時候（比如小于 10%時），In(x)和x的值是很接近的。 （2）使用對數(shù)收益率，可以簡化多階段收益。k階段總的對數(shù)收益就是k階段的對數(shù)收益之和。 （3）將對數(shù)收益繪制成圖表，在直觀上更接近真實的表現(xiàn)。比如股票價格從 1元漲到 10元，相當(dāng)于翻了10倍，再從10元漲到100元，也是翻了 10倍。如果單純繪制股票價格，那么從 10元漲到 100 元的這一段明顯會 “看起來漲了更多”。但是如果換算成對數(shù)價格，那么就不會存在這種直觀偏差了。

年化收益 (Annualized Returns） 表示資產(chǎn)平均每年能有多少收益。我們在對比資產(chǎn)的收益的時候，需要有一個統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。計算方式是： （最終價值 / 初始價值一 1 ） / 交易日數(shù)量 × 252 （最終價值/ 初始價值一1）/ 交易日數(shù)量 ×252 （最終價值/初始價值一1）/交易日數(shù)量×252

其中，252代表每年有252個交易日，這個數(shù)字每年都不一樣，但業(yè)界為了方便，一般都將其固定為 252，即： ( P t ? P t ? 1 ) / d a y s × 252 (P_t-P_{t-1})/days × 252 (Pt??Pt?1?)/days×252 年年化收益的一個直觀的理解是，假設(shè)按照某種盈利能力，換算成一年的收益大概能有多少。這個概念常常會存在誤導(dǎo)性，比如，這個月股票嫌了 5%，在隨機波動的市場中，這是很正常的現(xiàn)象。如果據(jù)此號稱年化收益為 5%×12個月=60%，這就顯得不太可信了，實 際上每個月的收益不可能都這么穩(wěn)定。所以在聽到有人說年化收益的時候，需要特別留意一下具體的情況，否則很容易被誤導(dǎo)。

波動率（Volatility）和風(fēng)險，可以算是一對同義詞，都是用來衡量收益率的不確定性的。波動率可以定義為收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，即 σ = S t d ( r ) \sigma = Std(r) σ=Std(r) 假設(shè)不同時間段的收益率沒有相關(guān)性(稱為沒有自相關(guān)性），那么可以證明的是，收益率的方差 Var(r）具有時間累加性。時間累加性的意思是，不同時間段t1，t2，…，tn的方差，加總即可得到這段時間的方差。換向話說，隨著時間的增加，方差將會成正比增加，波動率(標(biāo)準(zhǔn)差）將會按時間開根號的比例增加。舉個例子，假設(shè)股票收益率的日波動率為 σ \sigma σ。那么股票每年的波動率就為 252 σ \sqrt{252\sigma} 252σ ? （假設(shè)一年有252個交易日）。這種不同周期間的波動率換算，在投資計算中非常常見。最常用的波動率是年化波動率，我們經(jīng)常需要將日波動率、月波動率換算成年化波動率。

在研發(fā)策略的時候，經(jīng)常會接觸到各種各樣的指標(biāo)，這些指標(biāo)代表了策略（資產(chǎn)、基金）的表現(xiàn)，比如下面將要介紹的夏普比率 (Sharpe Ratio)。關(guān)于夏普比率（ Sharpe ratio），具有投資常識的人都明白，投資光看收益是不夠的，還要看承受的風(fēng)險，也就是收益風(fēng)險比。夏普比率描述的正是這個概念，即每承受一單位的總風(fēng)險，會產(chǎn)生多少超額的報酬。用數(shù)學(xué)公式描述就是： S h a r p e R a t i o = E ( R p ) ? R f σ p SharpeRatio =\frac{E(R_p)-R_f}{\sigma_p} SharpeRatio=σp?E(Rp?)?Rf?? 其中各參數(shù)說明如下。 E ( R p ) E(R_p) E(Rp?)：表示投資組合預(yù)期收益率。 R f R_f Rf?：表示無風(fēng)險利率 σ p \sigma_p σp?：表示投資組合的波動率（亦即投資組合的風(fēng)險）。 上面三個值一般是指年化后的值，比如預(yù)期收益率是指預(yù)期年化收益率。需要注意的是，雖然公式看起來很簡單，但是計算起來其實并不容易。原因就是預(yù)期收益率E?和波動率，其實是無法準(zhǔn)確得知的。我們只能用統(tǒng)計方法來估計這兩個值，然而估計方法也有很多種。估計 E ( R p ) E(R_p) E(Rp?)和 σ p \sigma_p σp?，最簡單的方法就是計算歷史年化收益率及其標(biāo)準(zhǔn)差。然而，即使是同一種方法，針對不同周期計算出來的結(jié)果也可能存在很大的差別，從而產(chǎn)生誤導(dǎo)。

素提諾比率與夏普比率相似，不一樣的是，索提諾比率是使用下行風(fēng)險來衡量波動率的。在夏普比率中，資產(chǎn)大漲與資產(chǎn)大跌都可視為波動風(fēng)險。實際上，有時候大洪并不算風(fēng)險，大跌才是風(fēng)險，比如基金凈值，所以索提諾比率只考慮大跌的風(fēng)險，這也可以看作是對夏普比率的一種修正方式。但是在某些品種中，大漲大跌都可能是風(fēng)險，比如可以做多做空的期貨。美股也可以做多或者做空，這種情況下，漲或跌都是風(fēng)險。索提諾比率之所以沒有流行，大概是因為美股可以做空。

阿爾法策略其實是來源于資本資產(chǎn)定價模型（CAPM)。這個模型將股票的收益分為了兩個部分，一部分是由大盤漲跌帶來的，另一部分則是由股票自身的特性帶來的。大盤的那部分影響就是貝塔（Beta）值，剔除大盤的影響，剩下的股票自身就是 Alpha 值。所以在談?wù)?Alpha 策略的時候，其實就是在談?wù)摴善迸c大盤無關(guān)的那部分收益。如果Alpha 策略做得好，對沖掉大盤風(fēng)險后，可以取得相當(dāng)穩(wěn)定的收益。

顧名思義，是指投資一項資產(chǎn)，可能產(chǎn)生的最大虧損，即所謂的“買在最高點，拋在最低點” 計算公式如下： m a x ( 1 ? 當(dāng)日凈值 / 當(dāng)日之前最高凈值） max (1-當(dāng)日凈值/ 當(dāng)日之前最高凈值） max(1?當(dāng)日凈值/當(dāng)日之前最高凈值） 這個 max 需要對每個交易日進行循環(huán)。

參考書籍《Python量化投資技術(shù)、模型與策略》趙志強 劉志偉