組合與排列

我們在使用 "組合" 這個詞時，通常都不會講究物件的次序。換句話說：

因此，在數(shù)學(xué)中我們用精確的語言：

換句話說：

排列是有序的組合。

有兩種基本排列：

?

這是最容易計算的。

當(dāng)一個東西有 n個不同類型時 …… 我們每次就有 n 個選擇！

例如：選 3個，排列是：

n × n × n （n 自乘 3次）

一般來說：從有 n個不同類型的東西里選 r個的排列是：

n × n × ...（r次）

（換句話說，選第一個時有 n個可能，然后選第二個時也有 n個可能，依此類推，每次乘以 n。）

用 r 的指數(shù)來寫比較簡單：

n × n × …… （r次） = nr

例子：暗碼鎖的暗碼有三個數(shù)字，每個數(shù)字可以是（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9）里的其中一個：

10 × 10 × … （3次） = 103 = 1,000個排列

公式就是：

?

在這個情況下，每選一個后我們就要把選擇的可能減少一個。

例如，16個桌球有幾個不同次序的排列？

選了 "14" 號球后，我們不能再選它，所以剩下來的選擇可能就少了一個。

因此：第一個由 16個可能，第二個只有 15個可能，接下來就是 14，13 等等。排列的總數(shù)是：

16 × 15 × 14 × 13 × … = 20,922,789,888,000

但我們可能只需要選 3個球，所以排列個數(shù)只是：

16 × 15 × 14 = 3,360

換句話說，有 3,360 不同的方法去從 16個球里排列 3個球。

不可以重復(fù)，選擇可能每次減少一個。

怎樣用數(shù)學(xué)語言來描述呢？答案：用 "階乘函數(shù)"

階乘函數(shù) （符號： !）的意思是把一系列逐項減小的自然數(shù)相乘。例子：

所以，選所有桌球的排列是：

16! = 20,922,789,888,000

但如果我們只選 3個，我們不需要乘以 14 以下的數(shù)。我們怎樣表達(dá)這個呢？除以 13!

留意 16! / 13! = 16 × 15 × 14

公式是：

n!(n ? r)!

（等于： 16 × 15 × 14 = 3,360）

（等于： 10 × 9 = 90）

還有更簡單的記法，不需要把整個公式寫出來：

例子：P(10,2) = 90

有兩種組合（次序不重要）：

?

這個最難解釋，我們待會兒再講。

這就是彩票背后的原理。數(shù)字逐個抽出來，如果抽出我們選擇了的號碼（不論次序），我們就中獎了！

最簡單的解釋是：

回到上面桌球的例子，假設(shè)我們只需要知道選了哪 3個桌球，而次序不重要。

上面計算量 16 選 3 有 3,360個不同排列。

但如果次序不重要，其中很多排列就變成相同的了！

例如，假設(shè)選了 1、2 和 3 號球。有以下可能：

所以排列比組合有大 6倍的可能。

我們可以用上面排列的公式來計算 "1 2 3" 可以有幾個不同排列。答案是：

3! = 3 × 2 × 1 = 6

（另一個例子：4樣?xùn)|西可以有 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 個不同排列方法。你可以自己去試試！）

因此，如果次序不重要，我們就需要把排列的公式以選擇出來的東西的排列個數(shù)減小：

這個公式非常重要，它有自己的記法：

通常可以這樣說："n 取 r"（例如 "16 取 3"）

也稱為二項系數(shù)。

除了用上面的 "大括號"，也可以用以下的記法：

?

要牢記這個公式：

n!r!(n ? r)!

桌球的例子就是（次序不重要）：

也可以這樣做：

?

留意公式的對稱:

換句話說，16 取 3 和 16 取 13 是相等的。想想：每一次選要的 3個時，你也選了剩下的 13個不要，所以 選 3個和選 13個的組合個數(shù)是相同的。

我們也可以用楊輝三角來計算這些數(shù)值。去第 "n" 行（頂行是第 0），然后向右 "r" 個位就是合適的數(shù)值。這是第 16行附近：

?

現(xiàn)在我們來看重復(fù)組合 ……

有五種冰激凌口味：香蕉、巧克力、檸檬、草莓和香草。

我想要三球（節(jié)食？什么節(jié)食？）。有幾個選擇？

我們用英語字母來代表口味：{b, c, l, s, v}。這是一些選擇：

（就是：從 n=5個東西里選 r=3個。 次序不重要，可以重復(fù)！）

我不可以描述怎樣計算答案，但我可以告訴你一個特別技巧。

想象冰激凌在桶五個桶里。我們可以說："向右移到下一個桶，挖三球，再移過三個桶"。這樣就有 3球巧克力了！

就好像命令一個機(jī)械人去挖冰激凌！

我們可以用圖來顯示：（箭頭代表移，圓代表挖）。

上面的三個例子就是這樣：

我們現(xiàn)在可以不考慮口味，我們有一個更簡單的問題："有幾個方法排列箭頭與圓？"

注意一定有 3個圓（3個球）和 4個箭頭（向右移 4次）。

所以有 r + (n?1) 個位置，而我們要在 r個位置放個圓。

就像："有 r + (n?1)個桌球，我們要選 r個"。現(xiàn)在問題和上面的桌球例子一樣，不過數(shù)字有點不同：

如果我們選箭頭，就是 "有 r + (n?1)個位置，要在 (n?1)個位置放個箭頭"，答案是一樣的：

那么，這個例子的答案是多少？

有 35個不同的組合去在 5種口味里選 3球冰激凌。

我們講了很多。我建議你再看一遍這個頁面！

但是，了解這些公式背后的原理只是個開始，在現(xiàn)實生活里應(yīng)用這些公式也不容易。

至少你現(xiàn)在懂得怎樣計算這 4個情況的排列與組合了："次序重要/不重要" 以及 "可/不可重復(fù)".

?