組合計(jì)算器

在數(shù)學(xué)中，有不同的策略來確定從給定集合中選擇對(duì)象的方法數(shù)。我們可以用多少種方法從n種可能性中選出r種結(jié)果？這取決于順序是否重要，以及數(shù)值是否會(huì)重復(fù)。

從 n種可能性中選出 r 種無序結(jié)果的方式稱為組合，記為 C（n，r）。它也稱為二項(xiàng)式系數(shù)。本計(jì)算器可幫助您從一組 n 個(gè)對(duì)象中選擇 r 個(gè)對(duì)象的組合。

對(duì)于給定的物體集合，有一定數(shù)量的方法可以按照某種順序或規(guī)則來排列或選擇其中的一部分或全部。本計(jì)算器計(jì)算的是在不考慮順序的情況下，從一組 n 個(gè)對(duì)象中不重復(fù)地選擇 r 個(gè)對(duì)象的方法數(shù)。計(jì)算器需要兩個(gè)輸入數(shù)據(jù)：

將數(shù)據(jù)輸入組合計(jì)算器的一個(gè)基本標(biāo)準(zhǔn)是

$$n ≥ r ≥ 0$$

如果輸入的數(shù)字 r 大于 n，系統(tǒng)將顯示以下信息

"請(qǐng)輸入 0 ≤ r ≤ n"。

組合計(jì)數(shù)的基本原理指導(dǎo)我們找到完成不同任務(wù)的方法。計(jì)數(shù)有兩個(gè)基本原理。

第一項(xiàng)任務(wù)可以用 m 種方法完成，第二項(xiàng)任務(wù)可以用 n 種方法完成。如果任務(wù)不能同時(shí)完成，則可能的方法數(shù)為（m + n）。

第一項(xiàng)任務(wù)可以用 m 種方法完成，第二項(xiàng)任務(wù)可以用 n 種方法完成。如果兩項(xiàng)任務(wù)可以同時(shí)完成，那么就有 (m × n) 種完成方式。

食堂出售 3 種餡餅和 4 種飲料。其中有蘋果派、草莓派和藍(lán)莓派。還有橙汁、葡萄汁、櫻桃汁和菠蘿汁。飲料和餡餅的售價(jià)都是 2 美元。當(dāng)你身上只有2美元時(shí)，你只能選擇其中一種餡餅或飲料。因此，你有 3 + 4 = 7 種選擇方式。

假設(shè)你想計(jì)算擲硬幣和擲骰子的次數(shù)。由于一枚硬幣有兩個(gè)面，因此擲硬幣的方式有 2 種。同樣，擲骰子也有 6 種可能的方法。由于您可以同時(shí)完成這兩項(xiàng)任務(wù)，所以拋硬幣和擲骰子的結(jié)果有 2 × 6 = 12 種

如果你想從一副 52 張牌中抽出 2 張牌而不放回，那么抽第一張牌的可能性有 52 種，抽第二張牌的可能性有 51 種。因此，抽兩張牌的出現(xiàn)的可能性是 52 × 51 = 2,652 種。

樣本空間是所有可能結(jié)果的集合，用大寫字母 s 表示。同時(shí)擲硬幣和擲骰子的樣本空間是

S = {{H,1}, {H,2}, {H,3}, {H,4}, {H,5}, {H,6}, {T,1}, {T,2}, {T,3}, {T,4}, {T,5}, {T,6}}

有12種可能性。通過計(jì)數(shù)原理，我們可以計(jì)算出實(shí)驗(yàn)可能性的數(shù)量，而不必一一列舉。

在不考慮順序的情況下，從 n 種可能性中選出 r 種不重復(fù)結(jié)果的可能方式稱為組合。對(duì)象的組合被寫成 C (n, r)。它也稱為二項(xiàng)式系數(shù)。組合公式定義為

$$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

數(shù)字或字母后面的符號(hào) ! 表示我們正在使用某個(gè)數(shù)的階乘。例如，n! 是數(shù)字 n 的階乘--或者說是從 1 到 n 的自然數(shù)的乘積。數(shù)字 2 的階乘是 1×2，數(shù)字 3 的階乘是 1×2×3，數(shù)字 4 的階乘是 1×2×3×4，數(shù)字 5 的階乘是 1×2×3×4×5，以此類推。階乘只能計(jì)算非負(fù)整數(shù)。

使用該公式計(jì)算組合的一個(gè)基本特征是不允許對(duì)象重復(fù)，并且不考慮排列順序。

假設(shè)你有一個(gè)包含四個(gè)數(shù)字的集合

{1, 2, 3, 4}

如果從中選取2個(gè)元素，且同一元素不能重復(fù)出現(xiàn)，我們可以有多少種組合方法？

如果元素順序很重要，我們就會(huì)得到有順序排列的組合：

(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)

如果順序不重要，我們就會(huì)得到下列組合：

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

有 6 種可能的組合。您可以使用公式求出所有可能組合的個(gè)數(shù)。在本例中，$n=4$，$r=2$。因此

$$C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4×3×2×1}{(2×1)(2×1)}=\frac{24}{4}=6$$

這正是組合計(jì)算器的計(jì)算結(jié)果。

從字母 A、B、C 、D選取3個(gè)字母，共有多少種方式？當(dāng)考慮順序時(shí)，有 24 種可能的排列組合。在計(jì)數(shù)組合中，是不考慮順序的。因此，只有第一行是相關(guān)的，即有 4 種可能的組合。

不必列舉所有可能的排列方式，我們也可以使用上面的組合公式計(jì)算可能的排列方式的數(shù)量（其中順序不重要）。在這里，有 n=4 個(gè)對(duì)象，每次選擇 r=3 個(gè)。因此，

$$C\left(n,r\right)=C\left(4,4\right)=\frac{4!}{\left(4-3\right)!3!}=\frac{4!}{1!3!}=4$$

排列定義了當(dāng)對(duì)象的順序很重要時(shí)，組織對(duì)象的方法數(shù)。當(dāng)從 n 個(gè)對(duì)象列表中選擇 r 個(gè)對(duì)象時(shí)，排列組合公式如下：

$$P\left(n,r\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

使用這個(gè)公式計(jì)算排列的兩個(gè)主要特征是，不允許重復(fù)，且考慮順序。

假設(shè)有 4 位候選人參加面試。遴選委員會(huì)需要對(duì)其進(jìn)行排名，以下是可能的排名方式：

乘法原理給出了選擇方法的總數(shù)，即 4 × 3 × 2 × 1 = 24，與 4！ 相同。假設(shè)候選人是

{A、B、C、D}

樣本空間如下所示，顯示了所有可能的排列組合：

不必像上面的表格列出所有可能的排列方式，我們還可以利用排列組合公式計(jì)算可能的排列方式的數(shù)量。在上面的例子中，有 n = 4 個(gè)對(duì)象，每次取 r = 4 個(gè)元素。因此

$$P\left(n,r\right)=P\left(4,4\right)=\frac{4!}{\left(4-4\right)!}=\frac{4!}{0!}=24$$

組合和排列的主要區(qū)別在于，組合中不考慮元素的順序，而排列中考慮元素的順序。