求(1

證明： lim ? n → ∞ ( 1 ? 1 n ) n = 1 e \lim\limits_{n\rightarrow\infty}({1-\frac{1} {n}})^n=\frac{1}{e} n→∞lim?(1?n1?)n=e1? 解：令 y = ( 1 ? 1 n ) n y=({1-\frac{1}{n}})^n y=(1?n1?)n

則 l n y = n l n ( 1 ? 1 / n ) lny=nln(1-1/n) lny=nln(1?1/n) 令 t = 1 / n t=1/n t=1/n則 n → ∞ n\rightarrow\infty n→∞時(shí) n → 0 n\rightarrow 0 n→0

lim ? n → ∞ n l n ( 1 ? 1 / n ) = lim ? t → 0 l n ( 1 ? t ) t \lim\limits_{n\rightarrow\infty}nln(1-1/n)=\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{ln(1-t)}{t} n→∞lim?nln(1?1/n)=t→0lim?tln(1?t)?

由洛必達(dá)法則： lim ? n → ∞ n l n ( 1 ? 1 / n ) = lim ? t → 0 l n ( 1 ? t ) ′ t ′ = lim ? t → 0 1 t ? 1 = ? 1 \lim\limits_{n\rightarrow\infty}nln(1-1/n)=\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{ln(1-t)^{'}}{t^{'}}=\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t-1}=-1 n→∞lim?nln(1?1/n)=t→0lim?t′ln(1?t)′?=t→0lim?t?11?=?1

所以 lim ? n → ∞ ( 1 ? 1 n ) n = 1 e \lim\limits_{n\rightarrow\infty}({1-\frac{1}{n}})^n=\frac{1}{e} n→∞lim?(1?n1?)n=e1?